一次数学文化答题活动的题目设计

　　本文为第三届数学文化征文比赛
　　一次数学文化答题活动的题目设计
　　作者：杨凡
　　作品编号：056
　　今年的圆周率日，作为魔都一家出版社的数学编辑，笔者有幸组织了一场以数学文化为主题的答题活动。这次活动共127人交卷，活动的对象主要是4年级以上的中小学生，当然据事后调查，也有全家总动员的情况。虽然已经过去4个多月，但笔者对此次活动记忆犹新，现记录一二，跟大家分享。
　　这次活动共20道单选题，每题5分。题目难度由易到难，并尽可能地融入数学文化的成分。下面，笔者依次给出每道题的出题心得，同时表达自己对数学文化的一些理解。为了保留您做题的乐趣，绝大部分题目没有在正文中给出答案，您可以放心阅读。
　　1。今天（2021年3月14日）是第二届国际数学日，取这一日期是因为圆周率的近似值约等于3。14。
　　作为第一道题，理所应当简单一些。但98。4的正确率远远超过其他题目，还是非常点令人意外的。
　　2。花花排队购物，从前往后数是第4个人，从后往前数是第7个人。请问一共有多少人排队？
　　A。10B。11C。12D。13
　　这道题是一二年级的思维训练题，难度很低，但需要避免思维惯性。有人说，思维训练不就是小学奥数吗？和数学文化有什么关系？笔者认为，广义的数学文化不仅包含数学史、数学故事，还包含数学的语言、思想、方法等等，而这些内涵在思维训练题中也得以体现。
　　3。6盏亮着的电灯，编号为1，2，3，4，5，6，各有一个拉线开关控制。将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下，再将编号为3的倍数的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为几盏？
　　A。2B。3C。4D。6
　　这道题的出题背景源自2016年华西都市报的一篇文章《错误答案5年无人察觉9岁小学生纠错奥赛名题》，讲述了四川的一名9岁小学生罗弋坚持己见，推翻奥数名题标准答案的故事。类似的问题还有正四面体和正四棱锥拼接最少几个面，也是由一位美国的小朋友推翻结论并解决。感兴趣的读者可以进一步了解。
　　4。如下图，是一种曾在上个世纪40年代风靡欧洲的拼图游戏伤脑筋十二块。上个世纪50年代，上海一位退休语文教师方不圆把它改编成立体的，做法是让每一块的形状不变作为底面，高度变成与每个小正方形的边长相同，记为1。如果把这12块拼成底面为43的长方体，它的高是多少？
　　A。1B。2C。5D。6
　　笔者周围有一个特殊的群体，他们虽然年事已高，但对伤脑筋1块乐此不疲（他们喜欢称作1块），更有甚者花了20余年研究和记录1块的各种奇妙摆法。
　　1块的背后涉及到很多有趣的数学问题，例如笔者和朋友曾发现，取这1块中的任意多种，都能密铺平面。美国著名数学科普作家马丁加德纳也对此有过研究。在这个时代，各种高科技的益智玩具层出不穷，但能经历时间沉淀下来的，最终才能成为文化。
　　5。它被誉为国际数学界的最高奖项，1936年首次颁发，华裔数学家丘成桐先生曾荣获该奖。2014年，美国数学家玛利亚姆米尔扎哈尼成为第一位获得该奖的女数学家。请问这个奖的名称是？
　　A。陈省身奖B。诺贝尔数学奖C。奥斯卡奖D。菲尔兹奖
　　这道题的出题缘由，源自几年前笔者在华师大旁听的一次非常数学夏令营。记得在闭幕式上，徐斌艳教授介绍了从古至今有卓越成就的女数学家，其中便包括米尔扎哈尼。
　　6。如图，两个一样的圆柱体，垂直地贯穿在一起，它们的公共部分被称作牟合方盖。如下图，从一个圆柱的方向看去，该牟合方盖的主视图、左视图、俯视图分别是什么形状？
　　A。正方形、正方形、正方形
　　B。圆形、圆形、圆形
　　C。圆形、圆形、正方形
　　D。正方形、正方形、圆形
　　牟合方盖是笔者读高中时在课外书上首次认识的，之后便对其美妙的性质印象深刻。后来知道，它在数学史上还有一定的地位祖氏父子在刘徽的工作基础上用牟合方盖首次算得球的体积。
　　7。桌上有9枚硬币，其中6枚正面朝上，3枚反面朝上。现在把硬币随机分成两堆，然后把其中一堆硬币翻个面。要使两堆中正面朝上的硬币数量相同，应该把多少枚硬币翻个面？
　　A。3B。4C。5D。6
　　这是一道比较经典的趣题，乍一看，能做到题目所述的效果令人不可思议。可以用设未知数的方法进行求解。
　　8。小理把《趣味数学00题》《新华辞典》《红楼梦》《上下五千年》四本书随机放到数学、文学、历史、工具书四个书架上，问四本书的位置全部放错的情况有多少种？
　　A。4B。9C。16D。24
　　这是著名的装错信封问题，也叫错排问题，最早被尼古拉伯努利和欧拉研究。希望用这道题致敬大数学家欧拉以及具有传奇色彩的伯努利家族。
　　9。可以表示成一个整数的平方的数，叫做完全平方数。如果一个完全平方数的十位是7，则它的个位一定是几？
　　A。1B。4C。5D。6
　　要做出这道题，需要知道完全平方数的一个比较冷门的性质。当十位是奇数时，个位必定是4或6。
　　10。回文数是指正读和反读都一样的数，例如5、11、323、4884等。把一个自然数与它的逆序数（倒过来读的数）相加，得到一个新数。不断重复这个过程，基本总能得到回文数。比如39，需要经过2步得到回文数：3993132，132231363。
　　请问，314159需要经过多少步得到回文数？
　　A。2B。3C。4D。5
　　这道题的背景是至今尚未解决的回文数猜想，也叫利克瑞尔猜想。196可能是最小的利克瑞尔数，虽然计算机已经验证到天文数字，但仍然没有结果。
　　11。把一根纸条扭转180后，两头再粘接起来，就成了著名的莫比乌斯带。莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯和约翰李斯丁于1858年独立发现。普通的环形纸带，如果沿着正中间剪开，会得到两个一样的环形纸带。那么，把莫比乌斯带沿着正中间剪开会得到
　　A。一根大的莫比乌斯带
　　B。一个绕了两个半圈的纸带
　　C。两个分开的环形纸带
　　D。两个套在一起的莫比乌斯带
　　这道以莫比乌斯带剪纸游戏为背景的题目得分率是最低的（34。7），可能大家都懒得动手进行验证吧。需要提一句，推广到绕n圈的情形是第一届阿里巴巴数学竞赛的题目。
　　12。平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺满整个平面。下图是用正三角形和正六边形组成的一种规则的密铺方式，其中正三角形与正六边形的数量之比为：
　　A。6：1B。3：1C。2：1D。1。5：1
　　这道题其实不难。如何根据重复图案，找出最小重复单元，便是这道题的精髓所在。
　　13。阿基米德多面体，是由两种及两种以上的正多边形为面的对称多面体，共有13种。和正多面体一样，阿基米德体在生活中也十分常见。比如，小朋友踢的足球，就是由一种阿基米德体膨胀之后得到的。请问是哪一个阿基米德体？
　　A。第个B。第个C。第个D。第个
　　从这道题可以看出，一些生活中习以为常的事物背后蕴含了数学的原理。
　　14。作为东方的文明古国，我国的古代数学家也有非常辉煌的成就。比如首先把圆周率计算到小数点后第7位，领先西方近千年的祖冲之；首创割圆术，并为《九章算术》做注解的刘徽等等。请问以下哪个成果是我国数学家首先取得的？
　　A。证明毕达哥拉斯定理
　　B。提出中国剩余定理
　　C。完成《几何原本》
　　D。发现欧拉公式ei10
　　数学史上以中国或中国人的名字命名的定理不多，我们需要对自己国家取得的成就有所了解。
　　15。有一个神奇的分数，它是所有分子、分母为自然数，且分母不超过16500的分数中，最接近圆周率的数，由祖冲之最先发现，被称为密率或祖率。这个数是
　　A。227B。15750C。355113D。39271250
　　圆周率日答题活动，当然离不开我们的主角圆周率以及它背后动人的音符。
　　16。历史上著名的七桥问题，曾难倒许多人。后来数学家欧拉把它转化成我们熟知的一笔画问题，并将其解决。他发现一幅图可以一笔画，必须要奇点的数目是0个或2个。（有奇数条线连出的顶点叫做奇点，反之叫做偶点。）以下不能一笔画的是？
　　A。第个B。第个C。第个D。第个
　　妇孺皆知的一笔画游戏，你是否知道其背后的数学背景和规律呢？
　　17。莱洛三角形是指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形。莱洛三角形的一个特点是具有等宽性，即各个方向的宽度均相同。如果一个莱洛三角形的宽度是1，它的周长是
　　A。2B。C。2D。3
　　这个棱角分明的三角形，被应用在井盖、汽车发动机、产品造型等生活中的很多地方（笔者发现一些类似信号塔的建筑上也有莱洛三角形的身影），其定宽曲线的性质还是微分几何的研究对象。
　　18。我们都观察过正方体，比如魔方、积木块、方盒子等等。请问在太阳底下，正方体的影子不可能是哪个图形？
　　A。正方形B。长方形C。五边形D。六边形
　　这道题目源自央视综艺节目《加油向未来》，它有一种巧妙的解法。因为正方体是一个非常对称和完美的几何体，它的每组对边全都平行且相等。因此它的影子一定有偶数条边。
　　19。有2堆石子，数目分别为2020和2021。甲和乙轮流进行以下操作：把其中一堆拿掉，并把剩下一堆重新分成两堆。首先无法进行完整操作的人算输（比如剩下（1，1）两堆时）。甲先行动，如果他想必胜，第一次应该怎么操作？
　　A。拿掉偶数堆，把奇数堆分成奇数堆加偶数堆
　　B。拿掉奇数堆，把偶数堆分成两个偶数堆
　　C。拿掉奇数堆，把偶数堆分成两个奇数堆
　　D。甲不管怎么操作都不可能必胜
　　尼姆游戏的规则变化无穷，并且其制胜策略千差万别，这一点尤其引人入胜。笔者曾总结过尼姆游戏的一些典型变化，感兴趣的读者可以在视频号中搜索尼姆游戏的各种变形。
　　20。有这么一列数，1，1，2，3，5，8它的后一个数等于前面两个数之和。这个数列叫做斐波那契数列，由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现。向日葵中的种子的排列数就是两个相邻的斐波那契数。它有很多奇特的性质，比如越往后，相邻两个数之比越接近0。618前n项之和等于第n2项减去第2项。如果已知第30项是832040，请你估计一下这个数列的前30项之和最接近多少？
　　A。134万B。217万C。1340万D。2170万
　　斐波那契数列中有着魔术般的神奇性质，等待着后来者的探索。要知道，国外的《斐波那契季刊》已经快60岁了。
　　因为篇幅有限，有的题目背后蕴含的数学文化阐述得不够详细，还请大家包涵。如果您想核对答案，可以点击这里。最后，祝贺征文活动圆满成功，希望中国的数学文化氛围越来越好。
　　相关链接
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