模型正方形翻折问题的思考

　　图形的翻折问题，是历年来填空压轴以及解答压轴的一个命题热点问题。由于图形的折叠只改变图形的位置，大小和形状均不发生改变，因此保持了图形运动变化中很多的不变性，如翻折前后的对应边，翻折前后的对应角均不发生改变，在全等型问题的运用中，较为广泛。图形的翻折运动中运用重要的轴对称知识，因此折痕（对称轴）在翻折运动中又扮演着相当重要的角色。下面我们探究在以正方形为背景下的翻折，常见的命题及结论。
　　一：正方形翻折的折痕问题
　　如图示，将正方形ABCD沿着折痕EF翻折，使点A落在BC边上的点A处，点D落在点D，点E在边AB上，点F在边CD上。
　　（1）正确作出翻折后的图形；
　　（2）证明：AAEF；
　　（3）设正方形边长为a，BAx，试用含有a和x的代数式将折痕EF表示出来，并分析其最值。
　　分析（1）：先在边BC上取一点A，联结AA，再作出线段AA的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F，联结AE，过点A作AE的垂线，再过点F作线段AE垂线的垂线，垂足为D
　　注：会画出翻折后的图形是解决翻折运动习题的重要一步，通常联结对称点，再作对称点连线段的垂直平分线。
　　分析（2）：证明ABABCG
　　分析（3）：用含有a和x的代数式表示折痕EF即表示线段AA，故对RtABA运用勾股构造。
　　当x0时，即点A与点B重合，此时折痕最小，EFa；
　　当xa时，即点A与点C重合，此时折痕最大，EF（2）a
　　练习（1）
　　如图，把一块边长为6的正方形ABCD沿着MN折叠，使点A恰好与BC边上的点E重合，BE2，则折痕MN
　　分析：
　　练习（1）变式
　　如图，把一块正方形纸片ABCD沿着MN折叠，使点A恰好与BC边上的点E重合，DN43，BE2，则折痕MN
　　分析：
　　注：
　　1：把握折痕和对称点连线段的长度相同；
　　2：正方形自带的直角为运用勾股定理解决问题提供了先决条件；
　　3、体会转化与化归思想及方程思想在解决问题中的应用。
　　二：正方形翻折形成的四边形面积问题
　　如图，把一块正方形纸片ABCD沿着MN折叠，使点A恰好与BC边上的点E重合，设正方形的边长为a，BEx，
　　（1）试用含有a和x的代数式表示四边形AMND的面积；
　　（2）并求出四边形AMND面积的最值。
　　分析：
　　（1）对于直角梯形面积的求解，作高是常见作法之一，故形成一组全等；
　　（2）对于面积最值问题，一般来时是化成二次函数的形式，在定义域范围内分析其最值。
　　练习（2）2012年普陀区初三数学一模18题
　　引用上述结论：点B的对应点G为AD中点时，此时面积最小且为38a，即为6
　　正方形翻折形成三角形周长定值问题
　　如图，正方形纸片ABCD的边长为a，将正方形纸片折叠使点A落在BC边上的点E处，点D落在点H处，折痕为MN，联结EH，EH交DC于点G，试求证：C〔ECG〕2a
　　分析：方法一
　　方法二：
　　以上通过两种方式证明ECG的周长为定值且为正方形变长的2倍。第一种方法通过勾股定理结合一线三直角的相似的性质，对于直角的翻折运用勾股定理建立方程是常用方法，且结合相似或三角比亦是可取方法；第二种方法通过构造辅助线2次全等说理，直接避开计算。
　　练习（3）2015年崇明一模18题
　　练习（4）2010虹口一模25题
　　分析：
　　第（3）亦可纯几何构造，如下图：
　　因为ADDEAB，故在AB边的右侧构造正方形ABHF
　　ADDEAB，ADDFAFAB
　　故DFDE
　　再通过2次全等证明：
　　FAEFGE，FGCFHC
　　C〔BEC〕2AB8
　　练习（5）2012年杨浦二模25题
　　分析：
　　亦可纯几何构造：
　　以上两题虽然不是直接以正方形的翻折为背景，但是本质依旧不变，只是改变叙述方式。练习（4）以ADDEAB为突破，变相的告诉我们DEDF，这样就转化成正方形的翻折问题了；练习（5）虽然以圆为背景，需要我们做的是剔除伪装圆，将圆的语言转换成线段之间的语言，此圆所起到的作用仅仅是半径OEOB，这样再次将此题成正方形的翻折问题了；对于以上几题从纯几何构造的方式，以2次全等说理周长定值，实为2次翻折，亦可发现特殊角45角的存在。
　　思考题：
　　如图，在正方形ABCD中，边长为a，点E、F分别在边BC、CD上，且EAF45，求CEF的周长
　　本贴主要探究正方形翻折问题中的几个常见问题的结论及其运用，从折痕问题到面积问题再到三角形周长定值问题。折痕是所有翻折运动问题中的核心，它所扮演的角色可以是对应点连线段的垂直平分线，也可以是角平分线，基于折痕扮演的角色，它又可以引领着我们补全翻折后的图形；对于面积问题中的最值问题一般来说是转化成二次函数的最值问题，再结合定义域来确定最值；
　　三角形周长定值问题，主要是利用勾股定理来建立方程，再结合三角比或相似三角形的相关性质进行求解。对于几何构造来求解三角形周长定值问题，旨在利用翻折的性质构造两次全等，这种两次翻折实为很多压轴题的基本图形，对基础图形的熟知，然后就是感悟、提升数学分析能力，解决压轴题。
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