正交矩阵（正交矩阵，只是一个矩阵！）

　　正交矩阵，
　　只是一个矩阵！
　　不好意思，你们要的老大被我正交了。
　　谈起正交变换，不知道模友们是否记得之前一篇文章如何通过心形线快速认识秩的几何意义？里面提到一位很牛逼的数学家费罗贝尼乌斯（F。G。Frobenius，18491917）。
　　他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。
　　没错，今天要讨论的就是他的贡献之一，正交矩阵与正交变换。
　　故事开始，先从代数角度理解一下正交矩阵。
　　其实很简单，我们找到两个相同的矩阵Q，它们一起睡觉，一个躺着睡（仰卧），一个翻转过来睡（俯卧），通过一晚上的成长，早上起来它们生出了一个简单又特殊的矩阵单位矩阵（主对角线都是1，其余为0），因此就称Q为正交矩阵。
　　站在更高角度看，我们把n阶正交矩阵全体和矩阵乘法运算看成一个正交群，记作O（n）。如果这些正交矩阵的行列式恰好都是1，那就更特殊了（因为它们的娃单位矩阵行列式也是1，有种遗传性能的感觉），我们称之为特殊正交群，记作SO（n）。
　　下面我们举一个栗子，验证一下二维旋转矩阵是不是正交矩阵
　　它们一起睡觉，开始造人了
　　这样就得到了结论：旋转矩阵就是正交矩阵。
　　模友们可以通过简单运算判断下面这个矩阵是否是正交矩阵（看看谁能最快算出来）
　　我相信，中国的最强大脑在这里！
　　那接下来，再从几何角度理解一下正交变换。
　　先给出一个大家非常熟悉的定义：
　　这段比较通俗的正交变换解释出自于在同济大学的《线性代数》教材上（如果想不起来那有可能上课睡过去了
　　），当然，超模君觉得它十分不严格，如果要严格版本，就没有那么显然易懂了：
　　正交变换就是一个保持内积的线性变换，它从V映到V，其中V为实内积空间。具体的，对任意向量u，vV，我们有（其中（u，v）表示内积）。
　　我们也知道，正交变换能保持三角形形状不变，这让超模君想到了正交变换中的平移和旋转变换。
　　确实！通过平移或旋转，不会改变三角形的形状。
　　那正交变换的优良是什么梗？
　　那是因为它还有许多不变的性质，称之为忠心耿耿变换再好不过了。
　　点、线、面的全家福
　　点、线、面正是吃了正交变换这颗仙丹，使它们保持身体健康青春有活力：
　　正交变换把点变为点，直线（线段）变为直线（长度相等的线段），把平行线变为平行线，把共线（不共线）三点变为共线（不共线）三点；保持直线夹角不变，最下面三个图形经过正交变换后形状、大小完全不变（全等）。
　　多么漂亮优美的性质啊！试想一下，换成别的变换，哪怕是一个正方形，变换过去就面目狰狞，六亲不认了。
　　如果登场的是一个出身不菲的大佬
　　怪形
　　怎么是凸的？看着不爽，我们先移动节点让它每两条直线都不香蕉
　　（相交）吧：
　　最强大脑现场
　　那么通过正交变换后，这个图形的形状和大小会改变吗？
　　没有思路？我们连几条辅助线就豁然开朗了：
　　好了，超模君要问一个问题了，原来的怪形，通过正交变换，形状也会不变吗？
　　最后来说说正交变换（矩阵）的应用。计算机中使用的软件工具无不离开强大的数学原理，图像处理也不例外，这在之前的特征向量文章中就有提及过。
　　用矩阵表示图像，构造正交均值差分变换矩阵，通过矩阵的乘法对原始图像进行正交变换，进一步取阈值，我们只存储绝对值大于阈值的系数（删去矩阵上一些系数），来实现数据图像的压缩。我们来看一组图片：
　　小猫原始图像及不同阈值下的解码图像
　　可以看到，虽然猫越来越模糊，但仍然不失真，不会把猫变成一只狗，通过最后一幅图片我们还是可以辨别它就是猫。
　　这让超模君想起了经常使用的动图压缩工具，如果动图时间越长，压缩出来的图像就越是av画质了，可以看到下面一张动图，压缩前是一个旋转，压缩后就像打雷一样。
　　本文系网易新闻网易号各有态度特色内容
　　部分资料来源于网络
　　转载请在公众号中，回复转载
　　这里是数学思维的聚集地
　　超级数学建模（微信号supermodeling），每天学一点小知识，轻松了解各种思维，做个好玩的理性派。50万数学精英都在关注！