反直觉一根长线和一根短线的点是一样多的

　　有朋友和我讲，现在小孩子知道的，已经比我们小时候多太多了，有一部分是这样子的，比如我们小时候还不存在的东西，那么现在的小朋友的确是知道得多一些，同时由于物质的丰富以及信息获得的方式极大的改变了，造成现在小朋友有太多的东西要去学，怎么也学不完。不过，现在的小朋友真的知道得比我们小时候多吗，却也不尽然的，因为，每一个时代的孩子他们知道的东西太不相同了。不信，你告诉他们，小时候，拿着钱出门找不到kfc，他们无法理解，要是告诉他们咱们小时候家里的玩具几乎都是自己diy的，他们也同样会感觉奇怪，再要是告诉他们咱们小时候，大街上谁也不玩手机，他们会相信吗，是的，他们可能只是听了你讲的话，记住了，可是真的能够理解这些话，可能要等到他们心智成熟一些。
　　讲这个话，是因为，前两天弯弯问我，书上讲，无论长短，组成每一条线的点都是一样多，真奇怪，不是长线的点多于短线吗，大家伙儿想一想是不是这么个理儿？
　　我一听，还真是呀，她们的教科书上讲，点组成线，那么仔细想一想，如果咱们用一些小球串起来组成一条线，那么当然就是长线的球子比短线多了。那么，在孩子小的时候，我们怎么样去讲孩子理解这样的问题呢。
　　其实，最好的方法就是不要去讲，他们就是看起来明白了，也仅仅是像小时候，让他们背的三字经、弟子规一样，除了背下来，却也没有理解。
　　弯弯12岁了，她在看贼叉写的那本《不焦虑的数学》的时候，说人家陶哲轩10岁就可以上大学，不过家里人看他年龄小，所以才没有送，好像有一点点羡慕的样子。我说，那是人家喜欢自己学习的东西。只要真的喜欢了，一个10岁的孩子在理解通识的时候，其实没有那么难的。
　　我需要给弯弯讲关于长线和短线一样多点的问题。不过，一定要注意了，为什么不要轻易和小小孩子讲这个问题呢，因为，连大人都无法容易的理解一个概念，那就是无限的概念，无限的思想在高中会小小的涉及一点点，不过也没有涉及到运算和深入的讲解，然后大多数家长们其实就再也不会和数学打交道了。而我们生活中，几乎遇不到什么无限的例子，所以，人们不会太多的去思考关于无限的思想。
　　线是由点组成的不错，但是要注意了，点可是任何人都见不到的，我讲这个的时候，有人用铅笔在纸上点了一个黑点，然后，得意的向着我说，这不是点吗，好吧，那是一个点，这就是为啥咱不要轻易和小孩子讲无限的道理。
　　点是指：只有位置，没有大小、没有颜色，没有体积的一个概念。它无法被画出来，只能够存在于思想当中，现实中画出来的不是一个点，而是一个面，而且是有颜色的，它只是用来形象的表示一个点。要是用笔划一下，就变成了一条线，同样，它也不是一条线，因为由没有大小和颜色的点构成的线是没有宽度和颜色的，所以，线这种东西，也只存在于思想当中，现实中是不存在的。
　　看到这里，是不是感觉，还是不要和孩子讲无限的问题好呢。
　　我告诉弯弯，线是由点组成的不错，不过，线不是把点一个一个像摆橙子一样，就能够摆成一条线，因为点没有大小，这样摆，永远也不无法摆出一条线来，那啥弄？只有一个弄法，就是让点运动起来，只要点一运动，无论时间多短，它马上就成了一条线了，哈哈，就这么简单。
　　这也就是高等数学和小学、初中、高中的不同之处，它是以动态的观点去描述这个世界，而我们这个世界，就根本没有静止这个事情，运动是绝对的。好啦，当形成了线，那线就有长短了，而长短就是当选定单位之后，对时间的积分得到的长度，这也讲得有点远了，回过头来，我们讲，为什么讲两条线无论长短构成它们的点是一样多呢。这当然也是无法数出来的，可以做一个形像化的实验来让孩子理解。看下图：
　　从这个图可以清晰的表示（一定要注意，这只是表示，并不是讲，这里的线就是数学上讲的线，这只是示意图）出下面的红线比上面的黑线要长，连接它们的端点，构成一个三角形。我任意在红线上取了几个点，把它们与三角形的顶点连接起来，这些连线必定会经过中间的黑线，我们就可以理解为，红线上的每一点与顶点的连线，必定对应着黑线上的一点，而且可以直观的看出来，只要红线上的点不是相同的一点，也必定会对应着黑线上不同的点。通过这个直观的示意图，虽然不严格，不过也比较直观的证明了，任意两条线的点是一样多的，这个在无限世界里的概念。
　　呵呵，其实，当我给弯弯讲了，她也只是直观的理解，至于真正的理解，可能还是要到了在大学的时候学了集合论的时候才能够真正理解吧。是的，是大学的集合论，而不是高中的时候，或者是初中的时候学的那个集合的概念。
　　当然了，有兴趣的家长，可以尝试在孩子能够理解的程度尝试着给孩子讲一些基本的概念，不过要注意了，越是基础的概念，其实才是最难以理解的，一开始我们也只需要直观的让孩子们认识一下就好了，任何不直观的事物，孩子们认识起来都比较不容易，这是孩子发展的规律。
　　所以，请不要认为孩子在很小的时候，就可以学会很多我们要长大才能够学会的东西。