用最简单的方式解释黎曼猜想（四），核心篇非平凡零点与复变函数

　　在上一篇文章，我们已经讨论了黎曼zeta函数的一些零点，每个负偶数都是zeta函数的零点：（2）0，（4）0，（6）0，以此类推。这给我们提供了一种理解黎曼猜想的方法，再次回顾下黎曼猜想的内容：
　　黎曼zeta函数的非平凡零点的实部都是12。
　　但负偶数只是zeta函数的平凡零点，我们不禁要问，那些“非平凡零点”在哪里？为了回答这个问题，我们必须走进复数世界。
　　数字系统，维基百科
　　一个复数就是复平面上的一个点，为了说明复平面，我对复数做一点分析，首先考虑我们之前讨论过的无穷级数：
　　x在1到1之间
　　这适用于复数吗？是的（在某些条件下）。例如，假设x是（12）i，那么级数收敛。事实上：左边等于0。80。4i，右边可以利用i21来化简，得到：把右边表达式画在复平面上：从实轴上的1开始，加上12个虚单位（向上移动0。5），再减去14（向左移动14）最后得到一个螺旋图，落在复数点0。80。4i处。回到非平凡零点，我要告诉你的是，黎曼zeta函数的非平凡零点都是复数！在1900年，关于非平凡零的位置，在数学上已经确定了如下事情：
　　它们有无穷多个，实部在0到1之间。
　　阴影部分被称为临界带，黎曼给出了更强的假设，就是黎曼猜想非平凡零点实部都落在12上（临界线上）。
　　零以共轭对的形式出现。也就是说，如果abi是一个零点，那么abi也是一个零点。
　　零点的实部关于临界线对称。
　　把黎曼zeta函数定义域推广到复数范围我们知道，复数是普通实数的一个非常简单的扩展，遵循所有的算术规则，只是增加了i21。自然而然地，我们可以用复数替代实数，把函数的定义域扩展到整个复数范围。如平方函数很容易扩展：指数函数不那么容易。指数函数的扩展需要运用欧拉恒等式：具体如何定义e的复数次幂呢？下面等式显示了ez的实际定义（对于任意数z，实数或复数）：如果zi，那么z22，z33i，z44，z55i，等等。把这些带入上式得到：
　　右边收敛到1。
　　同样，对数函数也可以扩展到复数。它只是指数函数的逆函数。那么，我们可以扩展黎曼zeta函数的定义域到复数范围吗？当然可以。我告诉你，对于复数，你可以做任何事情。由于zeta函数公式仍然是一个无限级数求和，因此仍然存在收敛性问题。对于任何实部大于1的复数，和是收敛的，数学上称为：
　　在半平面上Re（s）1
　　其中Re（s）表示s的实部。然而，就像对于实变量的zeta函数一样，数学技巧可以将zeta函数的定义域扩展到不收敛的区域。应用这些技巧之后，就得到了完整的zeta函数，它的定义域是所有的复数，只有一个例外，在s1处。如果有一些视觉辅助工具，复函数会更容易掌握。那么，如何将复函数可视化呢？我们来看看最简单的非平凡复函数，平方函数。如何画出它的函数图？如果自变量是实数，那么函数图很容易画出来：但这不能用于复函数，复函数变量需要用二维平面来表示。函数值需要另一个二维平面。为了得到一个图，需要四维空间来画它。这显然是不现实的。但我们可以换个方式。记住函数的基本概念，它将一个数字（参数）转换为另一个数字（函数值）。复数是复平面上的一点，函数值是另一个点。一个复函数把定义域内的所有点都“映射”到其他点上。你可以选择一些点，然后看看它们的走向。例如，复平面上一些构成正方形边的数字a、b、c、d，它们的值分别是0。21。2i，0。81。2i，0。82。2i，和0。22。2i。把这些数代数平方函数会怎样？0。21。2i的平方是1。40。48i，也就是a的函数值；将b、c和d平方可以得到其他角的值我已经将它们标记为A、B、C和D。如果你对沿正方形边缘的所有点重复这个步骤，以及组成网格内部的所有点，你就会得到如上图所示的扭曲的正方形。把复平面想象成一块可以无限拉伸的橡胶片，然后问函数是如何作用这个橡胶片的，这对理解复函数很有帮助。从上图可以看出，平方函数将橡胶片围绕（0，0）点逆时针旋转并拉伸了。黎曼有非常强大的视觉想象力，构想出了这个“东西”，取整个复平面。沿负实轴切割，到原点为止。黎曼看来有着非常强的直观想象力，他做出了下面的构想。取整个复平面。沿负实（西）轴切割，到原点为止。现在抓住切口的上半部，以原点为中心，把它按逆时针方向拉。拉着它恰好转过360度。此时它在被拉伸了的橡胶片的上方，而切口的另一侧在这张膜的下面。让它穿过橡胶片（你必须想象，复平面不仅可以无限延伸，而且是用一种能穿过其自身的神秘物质制造的），并且把切口重新弥合。你脑海中的图景现在看起来有点像：这就是平方函数作用于复平面的结果。这不是一个空想的或无关紧要的操作。由此出发，黎曼发展出了一个完整的理论，称为黎曼曲面理论。它包含了一些强有力的结论，并且让人们深刻地了解了复变函数的特性。它还把函数论与代数学和拓扑学联系起来，这是20世纪数学的两个关键性发展领域。事实上，它是黎曼大胆无畏而不断创新的想象力的一个典型产物历史上最伟大的头脑之一的一个成果。理解复变函数
　　自变量蚂蚁
　　现在，把复变函数的自变量看作一只“无穷小”的蚂蚁。如上图所示，这只小蚂蚁用它前面的一只“手”抓着一个“小仪器”，这个小仪器有三个显示屏：因此，这只小蚂蚁始终精确地知道它在哪里，同时对于任何给定的函数，它知道它所站的那个点会被函数映射到哪里。现在我们让这个小仪器显示zeta函数，让这只自变量蚂蚁在复平面上自由漫步。当“函数值”显示零的时候，它就正好站在zeta函数的一个零点（“自变量”）上。这只小蚂蚁可以在它所到之处做上记号。于是我们就能知道zeta函数的那些零点在哪里了。实际上，我将要让这只自变量蚂蚁所做的工作，比上面所说的略多一点。我要让它给所有那些得出纯实数或纯虚数函数值的自变量作上记号。一个自变量，如果它的函数值是2或2或2i或2i，就要做上记号；如果它的函数值是37i，就不做记号。换一种方式说，被函数映射到实轴或虚轴的所有那些点都要做上记号。当然，因为实轴和虚轴在原点相交，得出这两条轴交点的自变量，就将是函数的零点。用这个方法，我可以得到函数的某种图像。
　　自变量平面，显示了被zeta函数“映射”到实轴和虚轴上的点。
　　上图显示了这只小蚂蚁探索旅行的结果。其中的直线显示了实轴、虚轴及临界带。而所有的曲线都是由那些能被映射到实轴或虚轴上的点组成的。
　　试图想象出zea函数对复平面的作用结果是一项非常费力的智力操练。上面分析了，平方函数将这张平面在它自身上方拉伸了一圈，形成了双层膜曲面，而zeta函数则无穷多次地做了同样的事情，产生了一个有无穷多层膜的曲面。如果你发现这很难被形象化，不要觉得很沮丧。你需要经过几年的长期实践才能获得对这些函数的一个直观感受。就像我说过的，我这里要用一种比较简单的方法。
　　现在我要让它沿着一些那样的曲线漫步。假设它从所站的点2处开始起步。因为这是zeta函数的一个零点（平凡零点），函数值显示屏的读数是0。现在他沿着实轴开始向西走。函数值从零开始缓慢爬升。它向西刚走过点2。717262829时，函数值到达数0。009159890。然后它开始向着零跌落。函数值将一直下降，在自变量为4时到达零。另一种表现一个函数的方式是采用函数值平面的来源图。前面讨论的是被映射到令人关注的值（在那些例子中是纯实数和纯虚数）的自变量，与此不同的是，我可以给出一张函数值平面的图，显示来源于令人关注的自变量的那些函数值点。让我们想象那个自变量蚂蚁有一个生活在函数值平面上的孪生兄弟。这个兄弟当然就是函数值蚂蚁。让我们进一步假设，这两兄弟保持着即时的无线电联系；而且它们用这个方法使它们的运动保持同步，以保证在任何瞬间，无论自变量蚂蚁正站在哪个自变量上，函数值蚂蚁就正站在函数值平面内的对应值上。例如，如果自变量蚂蚁正拿着它那设定在zeta函数上的小仪器在1214。134725i上，那么函数值蚂蚁就站在它的平面即函数值平面的0上。现在假设，自变量蚂蚁不再沿着自变量平面上那些奇特的环线和螺旋线走（它们使得函数值蚂蚁只能乏味地在实轴和虚轴上来回行走），而是从自变量12出发，沿着临界线向正北方笔直走上去。那么函数值蚂蚁将沿着什么路线前进呢？
　　函数值平面，一张非常经典的图，显示来自临界线上的那些点的函数值。
　　它的出发点是zeta（12），值是1。4603545088095。然后它在原点下方按逆时针方向走出一条类似半圆的弧线，接着在1附近拐弯并按顺时针方向转圈。它向原点走去并经过了它（那是第一个零点自变量蚂蚁正好经过1214。14。134725i）。然后它继续按顺时针方向转圈，并不时经过原点每当它那位在自变量平面上的孪生兄弟踏上了zeta函数的一个零点。当自变量蚂蚁到达1235i时，我停止了函数值蚂蚁的漫步。到这时为止，这条曲线五次经过了零点，对应于图上的五个非平凡零点。注意，临界线上的那些点有一种强烈的倾向，它们要映射到带有正实部的点上去。再说一遍，函数值平面不像自变量平面那样是“映射”图；它是来源图，显示了zeta函数作用于临界线的结果。函数值平面图中的这条不断转着圈子的曲线就是zeta（临界线），即来源于临界线上点的所有函数值点的集合。一般而言，自变量平面的映射图对于理解一个函数的广泛性质（即它的零点在哪里）来说是更好的工具。而函数值平面的来源图对于研究这个函数的特定方面或奇妙特性来说会更有用。黎曼猜想宣称，zeta函数的所有非平凡零点都位于临界线上实部是12的复数所构成的直线。目前知道的所有非平凡零点确实都位于那条直线上。当然，那并不能证明什么。zeta函数有无穷多个非平凡零点，没有一张图可以把它们全都表示出来。我们怎样才能知道第一万亿个，或者第一亿亿亿个，或者第一亿亿亿亿亿亿亿亿亿个是位于临界线上的呢？我们不知道，通过画图无论如何也无法知道。它与素数到底又有什么关系呢