基于后悔理论和TOPSIS的灰色随机MCDM方法

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　　本期为您带来的是基于后悔理论和TOPSIS的灰色随机MCDM方法
　　多属性决策。mp3音频：00：0005：02
　　1hr决策问题的描述
　　考虑以下灰色随机MCDM问题：假设Ai是m个可能备选方案的离散备选方案集，Cj是n个标准的集合。标准的加权向量为Wj，其中：
　　由于决策环境的不确定性，备选方案将具有某种可能的状态。
　　灰色随机决策矩阵可以表示为
　　然后，我们能够根据提供的信息对备选方案进行排序。
　　2hr决策步骤
　　第1步：规范化决策矩阵
　　为了消除物理量不同维度的影响，需要对决策矩阵进行归一化，以便将各种标准值转换为可比值。这些准则通常分为两类：最大化准则和最小化准则。如果标准为最大化类型，则转换公式如下：
　　其中，
　　如果标准为最小化类型，则公式如下：
　　其中：
　　归一化决策矩阵表示为：
　　第2步：确定理想点。
　　第3步：计算与标准相关的效用值和后悔值。
　　（a）应在计算标准的效用值之前构建效用函数。由于决策者的风险厌恶，效用函数v（x）是单调递增的凹函数，其中：
　　这里，幂函数用作效用函数的标准值。
　　如果风险规避系数越小，决策者的风险厌恶越大。
　　这里，考虑了两种分布。
　　（1）均匀分布。均匀分布是最常见的分布之一。对于服从均匀分布的灰色随机变量x，概率密度函数为
　　（2）正态分布。正态分布在统计学中非常重要，在自然科学和社会科学中经常用于具有未知分布的实值随机变量。对于服从正态分布的灰色随机变量x，概率密度函数为：
　　这里，平均值为
　　标准偏差为
　　（b）后悔函数用于确定与标准有关的后悔值。它是单调递增的凹函数，并且满足：
　　可表示如下：
　　当R（u（a）u（b））0时，表示决策者对选择方案A舍弃方案B感到欣喜；当R（u（a）u（b））0时，表示决策者对选择方案A舍弃方案B感到后悔。
　　与理想点相比，在第t中状态下，备选方案ai相对于cj的后悔值可计算如下：
　　第4步：计算备选方案的总体感知效用值。
　　可根据步骤3计算备选方案的感知效用值。这些代表了备选方案的效用价值和后悔价值之和。令感知效用Uij为第t状态下备选方案ai相对于cj的感知效用值，因此，
　　备选方案ai相对于cj的整体感知效用价值可计算如下：
　　其中，Pj是更精确的区间概率，可通过以下公式计算：
　　整体感知效用矩阵表示如下：
　　第5步：根据总体感知效用对备选方案进行优先级排序
　　确定整体感知效用区间的正理想解和负理想解，如下所示：
　　计算每个总体感知效用区间与正理想解和负理想解之间的距离：
　　然后，用以下公式估算相对接近度：
　　其中，Ci越大，方案ai越好。
　　英文学习：
　　Descriptionofthedecisionproblem
　　ConsiderthefollowinggrayrandomMCDMproblem：
　　SupposeAiisadiscretesetofmpossiblealternatives，andCjisasetofncriteria。ThestandardweightingvectorisWj，where：
　　Duetotheuncertaintyofthedecisionmakingenvironment，thealternativeswillhaveacertainpossiblestate。
　　Thegrayrandomdecisionmatrixcanbeexpressedas
　　Wecanthensortthealternativesbasedontheinformationprovided。
　　Decisionsteps
　　FortheabovegrayrandomMCDMproblem，thesolutionprocesscanbesummarizedasfollows。
　　Step1：Standardizethedecisionmatrix
　　Inordertoeliminatetheinfluenceofdifferentdimensionsofphysicalquantities，itisnecessarytonormalizethedecisionmatrixtoconvertvariousstandardvaluesintocomparablevalues。Thesecriteriaareusuallypidedintotwocategories：maximizationcriteriaandminimizationcriteria。Ifthestandardismaximized，theconversionformulaisasfollows：
　　in，
　　Ifthestandardisaminimizedtype，theformulaisasfollows：
　　in：
　　Thenormalizeddecisionmatrixisexpressedas：
　　Step2：Determinetheidealpoint。
　　Step3：Calculatetheutilityvalueandregretvaluerelatedtothestandard。
　　（A）Theutilityfunctionshouldbeconstructedbeforecalculatingtheutilityvalueofthestandard。Duetotheriskaversionofdecisionmakers，theutilityfunctionv（x）isamonotonicallyincreasingconcavefunction，where
　　Here，thepowerfunctionisusedasthestandardvalueoftheutilityfunction。
　　Iftheriskaversioncoefficientissmaller，theriskaversionofthedecisionmakerisgreater。
　　Here，twodistributionsareconsidered。
　　（1）Evenlydistributed。Uniformdistributionisoneofthemostcommondistributions。Forauniformlydistributedgrayrandomvariablex，theprobabilitydensityfunctionis
　　（2）Normaldistribution。Normaldistributionisveryimportantinstatistics，andisoftenusedforrealvaluedrandomvariableswithunknowndistributionsinnaturalsciencesandsocialsciences。Foragrayrandomvariablexthatobeysanormaldistribution，theprobabilitydensityfunctionis：
　　Here，theaverageis
　　Thestandarddeviationis
　　（B）Theregretfunctionisusedtodeterminetheregretvaluerelatedtothestandard。Itisamonotonicallyincreasingconcavefunctionandsatisfies：
　　Itcanbeexpressedasfollows：
　　WhenR（u（a）u（b））0，itmeansthatthedecisionmakerishappytochooseoptionAandabandonoptionB；whenR（u（a）u（b））0，itmeansthatthedecisionmakerishappyRegretforchoosingoptionAandabandoningoptionB。
　　Comparedwiththeidealpoint，inthetthstate，theregretvalueofalternativeairelativetocjcanbecalculatedasfollows：
　　Step4：Calculatetheoverallperceivedutilityvalueofthealternatives。
　　Theperceivedutilityvalueofthealternativecanbecalculatedaccordingtostep3。Theserepresentthesumoftheutilityvalueandregretvalueofthealternatives。LettheperceivedutilityUijbetheperceivedutilityvalueofthealternativeairelativetocjinthetthstate，therefore，
　　Theoverallperceivedutilityvalueofalternativeairelativetocjcanbecalculatedasfollows：
　　Amongthem，Pjisamoreaccurateintervalprobability，whichcanbecalculatedbythefollowingformula：
　　Theoverallperceivedutilitymatrixisexpressedasfollows
　　Step5：Prioritizealternativesbasedontheoverallperceivedutilityinterval
　　Determinethepositiveidealsolutionandnegativeidealsolutionoftheoverallperceivedutilityinterval，asshownbelow：
　　Calculatethedistancebetweeneachoverallperceivedutilityintervalandthepositiveidealsolutionandthenegativeidealsolution：
　　Then，usethefollowingformulatoestimatetherelativeproximity：
　　ThelargertheCi，thebettertheschemeai。
　　英文翻译：谷歌翻译
　　参考资料：
　　〔1〕ZhouH，WangJQ，ZhangHY。GreystochasticmulticriteriadecisionmakingbasedonregrettheoryandTOPSIS〔J〕。InternationalJournalofMachineLearningandCybernetics，2015，8（2）：114。
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