中考数学专题中考四类坑人几何问题

　　在各类考试中，有学生认为最坑的题是那种，一看到题就觉得好简单呀，这不送分题吗，然后非常开心的就掉进了坑里，最关键的是掉进坑里还全然不知，觉得坑里贼舒服，因为自认为把分轻松拿到了手。下面结合一些学霸评出很坑的四类几何题，笔者作点评，期待你有所思考认识，避免下次再入坑。
　　第一类坑有题目，无图形
　　题目中没有图，需要自己画出图，图形画法不唯一，这类问题往往需要分类讨论，这类题极易漏解而使解答错误。
　　1（2019秋南岗区期末）已知：在同一个平面内，ABCD，垂足为O，OE平分AOC，BOF30，则EOF的度数为度
　　【解析】分两种情况：射线OF在BOC内部；射线OF在BOD内部
　　ABCD，垂足为O，AOCCOB90，
　　OE平分AOC，AOECOE12AOC45
　　分两种情况：
　　如图1，射线OF在BOC内部时，
　　AOE45，BOF30，
　　EOF180AOEBOF105；
　　如图2，射线OF在BOD内部时，
　　COE45，COB90，BOF30，
　　EOFCOECOBBOF165
　　故答案为105或165
　　2（2019秋卫辉市期末）已知A和B的两边分别平行，若A7122，则B
　　【解析】A的两边与B的两边分别平行，A7122，
　　AB180或AB，
　　B10838或7122
　　故答案为：10838或7122
　　3（2019秋大洼区期末）已知ABC中，AHBC，垂足为H，若ABBHCH，ABH80，则BAC
　　【解析】当ABC为锐角时，过点A作ADAB，交BC于点D，如图1所示
　　ABAD，ADBABH80，BHDH
　　ABBHCH，CHCDDH，
　　CDABAD，C12ADB40，
　　BAC180ABHC60
　　当ABC为钝角时，如图2所示
　　ABBHCH，ABBC，BACACB12ABH40
　　故答案为：60或40
　　4（2019秋蜀山区期末）在ABC中，D、E是边BC上的两点，DCDA，EAEB，DAE40，则BAC的度数是
　　【解析】如图1，DADB，EAEC，
　　DABB，EACC，
　　DABBEACCDAE180，则2（BC）220，
　　解得，BC110，BAC70，
　　DADB，EAEC，DABB，EACC，
　　DABBEACCDAE180，
　　则2（BC）140，解得，BC70，BAC110，
　　故答案为：70或110
　　第二类坑忽略关键字词
　　也有这么一类题目，我们会忽略题目中的关键字眼，做题时审题时一定要仔细，尤其要注意一些重要的关键字眼，不要以为是容易题陈题就一眼带错，要注意陈题中可能有新意。也不要一眼看上去认为是新题、难题就畏难而放弃，要知道难题也只难在一点，新题只新在一处。由于疏忽看错题或畏难轻易放弃都会造成很大的遗憾。
　　5（2019秋克东县期末）已知线段AB10cm，点C在直线AB上，且BC2cm，若点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，则线段MN的长为
　　【解析】M是AB的中点，N是BC的中点，
　　BM12AB12105cm，BN12BC1221cm，
　　如图1，线段BC不在线段AB上时，MNBMBN516cm，
　　如图2，线段BC在线段AB上时，MNBMBN514cm，
　　综上所述，线段MN的长度是6cm或4cm
　　故答案为：6cm或4cm
　　6（2019秋成都期末）在ABC中，ACB50，CE为ABC的角平分线，AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F，若ABD：ACF3：5，则BEC的度数为
　　【解析】如图1中，当高BD在三角形内部时，
　　CE平分ACB，ACB50，ACEECB25，
　　ABD：ACF3：5，ABD15，
　　BDAC，BDC90，CBD40，
　　CBECBDABD401555，
　　BEC180ECBCBE1802555100
　　如图2中，当高BD在ABC外时，
　　同法可得：ABD25，ABD15，CBD40，
　　CBECBDABD401525，
　　BEC1802525130，
　　综上所述，BEC100或130，故答案为100或130
　　7（2019秋肥城市期末）在ABC中，C90，AC4，BC3，D是边AB上的一点，AD1，E是边AC上的一点（E与端点不重合），如果以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，那么AE的长是
　　【解析】分两种情况，由相似三角形的性质可求解
　　C90，AC4，BC3，
　　由勾股定理可求得AB5，
　　A，D，E三点组成的三角形与ABC相似，
　　ABCADE或ABCAED，ABADACAE，或ABAEACAD，
　　514AE或5AE41，解得：AE45或AE54，
　　故答案为：45或54。
　　变式1。（2019秋淅川县期中）如图，在ABC中，ABAC3，BC4，点D、E分别是边AB，BC上的点，连结DE，将BDE沿DE翻折得到FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与ABC相似，则BE的长为。
　　【解析】将BDE沿DE翻折得到FDE，BEEF，
　　BC4，CE4BE，
　　以点C、E、F为顶点的三角形与ABC相似，
　　CEBCEFAB或CEACEFAB，即（4EF）4或（4EF）3BE3，
　　解得：BE127或2，
　　故答案为：127或2
　　变式2（2019秋港闸区校级月考）如图，AB90，AB7，BC3，AD2，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，则满足条件的AP长为
　　【解答】AB90
　　若APDBPC，则APBPADBC，
　　AP（7AP）23，解得AP2。8
　　若APDBCP，则APBCADBP，
　　AP32（7AP），解得AP1或6
　　则满足条件的AP长为2。8或1或6故答案为：2。8或1或6
　　第三类坑最值问题转化
　　平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类问题常让学生无从下手，让学生真正头疼的题目，往往出现在填空选择等的压轴题中，得分率很低，是实实在在的坑题。几何最值问题常涉及到原理：两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，其中包含了数学中的化归思想、数形结合思想。
　　8（2019秋椒江区期末）模型结论：如图，正ABC内接于O，点P是劣弧AB上一点，可推出结论PAPBPC
　　应用迁移：如图，在RtEDG中，EDG90，DE3，DG23，F是DEG内一点，则点F到DEG三个顶点的距离和的最小值为（）
　　A17B5C33D39
　　【解析】模型结论：将PBC绕C点顺时针旋转60，
　　PCD60，PCCD，ADPB，CADCBP，
　　PBCPAC180，DACPAC180，
　　P，A，D在一条直线上，
　　PCD是等边三角形，PCPDDC，
　　PBPAPAADPDPC；
　　应用迁移：如图2：以DG为边作等边三角形MGD，以DF为边作等边DFP连接EM，作MNED，交ED的延长线于N
　　MGD和DFP是等边三角形
　　PFDFPD，FDPGDM60，DGMD，
　　FDGMDP，DFGDPM，
　　FGPM，EFDFFGEFPFPM，
　　当E、F、P、M四点共线时，EFPFPM值最小，且EFPFPMEM，
　　EDG90，DE3，DG23，EDM150，
　　NDM30，
　　MDDG23MN12DM3，DN3，
　　NEDEDN336，
　　由勾股定理可求得EM39，
　　点F到DEG三个顶点的距离和的最小值为39，故选：D
　　9（2020武侯区模拟）如图，在矩形ABCD中，已知AB3，BC4，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作MPC的角平分线交边CD于点N则线段MN的最小值为
　　【解析】连接AM、MN、AN，如图1所示：
　　MNAMAN，MNANAM，
　　当A、M、N三点共线时，MNANAM，最小，
　　当A、M、N三点共线时，如图2所示：
　　四边形ABCD是矩形，
　　ABCD3，ADBC4，BCD90，
　　点B关于直线AP的对称点为M，
　　AP垂直平分BM，ABAM，PBPM，
　　易证ABPAMP，BPMA90，PMNC90，
　　PN是MPC的角平分线，NPMNPC，
　　易证NPMNPC，MNCN，
　　设MNx，则DNCDCN3x，ANAMMN3x，
　　在RtADN中，4（3x）（3x），
　　解得：x43，线段MN的最小值为43，故答案为：43
　　10（2019秋苍南县期末）如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），C是线段AB的中点，D为x轴上一个动点，以AD为直角边作等腰直角ADE（点A，D，E以顺时针方向排列），其中DAE90，则点E的横坐标等于，连结CE，当CE达到最小值时，DE的长为
　　【解析】如图，把线段AC绕点A逆时针旋转90，得到AC，连接CD，
　　则C为定点（2，52），易证ACEACDCDCE
　　当CDOD时，CD最小，CE最小值为52，OD2，
　　过E作EGOA于G，EHx轴于H，则四边形EHOG是矩形，EGOH，
　　AGEAODEAD90，
　　AEGEAOEAOOAD90，AEGOAD，
　　AEAD，AEGDAO，
　　AGOD2，EGOA4，点E的横坐标等于4，
　　EHOG2，DH246，由勾股定理可求得DE210，
　　故答案为：4，210
　　11如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OCED记旋转角为a（0a360），连结AC、BD，设直线AC与直线BD相交于点F，则点F的纵坐标的最大值为
　　【解答】如图，
　　AOBDOC，ACOBOD，
　　易证AOCBOD，OAFOBF，
　　AGOBOFBFABOA90，点F、B、A、O四点共圆，
　　当点F在劣弧上运动时，点F的纵坐标随FAO的增大而增大，
　　OC2，点C在以点O为圆心，2为半径的圆O上运动，
　　当AF与O相切时，CAO（即FAO）最大，
　　此时ACO90，点E与点F重合，点F的纵坐标达到最大
　　过点F作FHx轴，垂足为H，如图所示
　　ACO90，CO2，AO4，
　　EAO30，AC23AF232
　　AHF90，FAH30，
　　FH12AF12（232）31
　　点P的纵坐标的最大值为31
　　第四类（折叠、旋转）变换或动点的多解问题
　　有些几何平移、旋转、对称、折叠问题，题目中有些元素位置或大小没有确定，需要自己画出图形确定出可能出现情形，图形画法往往不唯一，需要分类讨论这类题难度就较大。需要全面细致分析，否则极易漏解。图形的变换多解题型在几何知识里属于难度较大的一个模块，很多同学在做这类题时通常直接放弃，失分率很高
　　12（2020郑州一模）如图，在矩形ABMN中，AN1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF当EFAC时，AE的长为
　　【解答】四边形ABMN是矩形，
　　ANBM1，MN90，
　　CMCN，BMCANC，
　　BCAC2，AC2AN，ACN30，
　　ABMN，CABCBA30，
　　如图1中，当DFAB时，ADF60，
　　DADF，ADF是等边三角形，AFD60，
　　DFEDAE30，EF平分AFD，
　　EFAD，此时AE33
　　如图2中，当AEF是等边三角形时，EFAC，此时EF3
　　综上所述，满足条件的EF的值为33或3
　　13（2019秋川汇区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB2，点E是BC边的中点，连接AE，ABE和ABE关于AE所在直线对称，若BCD是直角三角形，则BC边的长为
　　【解答】连接BB，
　　BEBEEC，BBC90，BCD90，
　　（1）如图1，BDC90，
　　则四边形ABEB和ECDB是正方形，
　　BC2AB4，
　　（2）如图2，CBD90，则B，B，D三点共线，
　　设AE，BB交于F，ABAB，EBEB，AE垂直平分BB，BFBF，
　　AFBDBC90，
　　BAFABFABFEBF90，
　　BAFEBF，同理EBFDCB，BAFDCB，
　　ABCD，ABFCDB，BFDD，
　　F，B是对角线BD的三等分点，
　　BCBCDB，BCCDCBDBBBCB，
　　BCCDBBDB，BC2CD22，
　　故答案为：4或22
　　14（2019秋宿迁期末）如图，在矩形ABCD中，AD3AB610点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE，点M、N在线段BD上，若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN
　　【解答】分两种情况：
　　MN为等腰PMN的底边时，作PFMN于F，如图1所示：
　　则PFMPFN90，
　　四边形ABCD是矩形，
　　ABCD，BCAD3AB610，AC90，
　　ABCD210，由勾股定理可求得BD20，
　　点P是AD的中点，PD12AD310，
　　PDFBDA，PDFBDA，
　　PFABPDBD，即PF21031020，解得：PF3，
　　CE2BE，BCAD3BE，BECD，CE2CD，
　　PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，PFMN，
　　MFNF，PNFDEC，
　　PFNC90，PNFDEC，NFPFCEPF2，
　　MFNF2PF6，
　　MN2NF12；
　　MN为等腰PMN的腰时，作PFBD于F，如图2所示：
　　由得：PF3，MF6，
　　设MNPNx，则FN6x，
　　在RtPNF中，32（6x）2x2，
　　解得：x154，即MN154；
　　综上所述，MN的长为12或154；
　　故答案为：12或154
　　15（2019秋大东区期末）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE当CDE是等腰三角形时，AP的值为
　　【解答】如图1，当CECD，且点P在线段AD上时，
　　由题意知，BEC为等边三角形，
　　过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，
　　则EN32BE32，ME132，
　　在四边形ABEP中，ABE30，APEB90，APE150，
　　MPE180APE30，
　　在RtPEM中，PE2ME23，APPE23；
　　如图2，当CECD，且点P在线段AD的延长线上时，
　　由题意知，BCE为等边三角形，
　　过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE32CE32，ME132，
　　在四边形ABEP中，ABEP90，ABEABCEBC150，
　　APE30，在RtPME中，PE2ME23，APPE23；
　　如图3，当EDEC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，AEBE，
　　又ABEB，ABE为等边三角形，
　　ABE60，ABPEBP30，
　　在RtABP中，AP33AB33，
　　综上所述，AP的值为23或23或33
　　反思总结
　　数学永远都有很坑的题，因为数学内容广，而且灵活性高。所以数学最容易出现超难题。而数学中的难度大的题主要集中在几何中。具体有以下几种情况。
　　一、几何图形变换多，尤其空间图形，如果想象能力如果跟不上，则一个很简单的图都会出现很难的题。
　　二、没去想常用的几何模型而去添加的辅助线，尤其是辅助线位于图形外面的。很多学生甚至老师都想不到。
　　三、几何题灵活度高，常规的题变换某些关键元素字眼，或操作图形变换方式，变换图形位置，就会导致图形的多样性，致使答案有多种可能，从而提升难度。导致很多人不会做。
　　综上所述，数学几何所谓坑人题是有招数应对的，只要认真深入认识研究，不难攻破的。
　　声明：本文经作者许可，选自今日头条号《中学数学深度研究》。