球的表面积公式（球的体积求导便是球的表面积）

　　求圆体积公式
　　球体半径R，把球平行地切成许多圆形薄片，每个圆形薄片的半径r（Rx）（x是该薄片到球心的距离，更准确地说是横向坐标，范围是R到R）。
　　因此薄片的面积是（Rx），
　　球体体积薄片体积的和薄片面积的和薄片厚度d
　　相当于对（Rx）这个式子，让x从R到R以间距d走一遍求和，再乘以d
　　相当于求积分：
　　如果看不懂积分，就写成求和式计算，再让d趋于无穷小。
　　求圆表面积公式
　　从几何思考，半径增长一点，体积增长多少？
　　把球看成洋葱那样一层一层的球壳包起来的，设球壳厚度是t。
　　当一个球的半径从R增加到Rt时，其体积从43R增加到了43（Rt）
　　同时相当于，这个球增加了一个厚度为t的壳。
　　因此dV就是增加的壳的体积，而dVt则是壳的表面积：
　　圆的周长2r与面积
　　从以上图形可以很直观地看出，圆的半径微分为dr，展开后可以近似为一个以R为底，2r为高的三角形，可得面积为r。
　　如果从定积分的角度去分析，变量r，对应直线函数2r，则直线下的面积2rdrr。
　　辐射积分
　　我们的生活中，存在辐射现象。太阳源源不断的把太阳能辐射到地球，冬天取暖用的火炉向外辐射能量。其实数学中也存在这样的辐射现象，不过我们先要了解辐射的特点。辐射无非就是说，辐射源不间断的向四面八方的空间均匀的发射能量；看来它的特点是：辐射源、发射方向四面八方、变化是均匀的。在几何中符合辐射条件的几何空间群有是：圆、圆柱、球。
　　圆是以圆心为辐射源，圆柱是以中心轴L为辐射源，球是以球心为辐射源。这样的辐射几何空间是有定积分的，把他们的辐射单元求和（积分）就可以得到相应的圆的面积、圆柱和球的体积了，我把它们这样形式的定积分称为辐射积分。
　　球的体积的导数球的表面；
　　圆的面积的导数圆的周长；
　　圆的周长的导数整个圆的圆周角；
　　因为圆是最特别的图形。
　　圆的周长：
　　小扇形的弧长
　　圆的半径小扇形的弧度
　　圆的半径
　　r
　　2r
　　rd
　　2r
　　圆的面积：
　　小圆环的周长小圆环的宽度
　　2rr
　　2rdr
　　r
　　球的体积小球壳的面积小球壳的厚度。
　　4rr
　　4rdr
　　4r3
　　这些都是积分基本思想、基本方法。
　　就是：分割、求和、取极限（过渡到积分）。
　　导数是指空间变化率：
　　如果球体的半径在变，对半径的求导的意义是：
　　半径每变化一个单位所引起的球体体积大小的变化
　　它在大小的量值上正好等于球表面的面积。
　　圆的面积、周长的解释完全类似。
　　但对于椭圆（球）、三角形、正方形、立方体。。。都不成立！
　　正方体的体积与面积的关系
　　正方体要处理成体积的导数就是表面积，必须要换求导变量。
　　原因是方体的原边x的微小增量是不和体积的增量成表面积变化关系。
　　先看一下正方体的组成，它是由6个锥体拼凑而成，6个锥体的顶点对称在正方体的空间中心，它们的底面是6个正方形表面。
　　正方体体积vx，也就等于6个锥体的体积和（那么每个锥体体积为vz16x3），
　　单独一个锥体的高度h12x，x为正方体的边长。
　　正方体表面积s6x，
　　由h12x，x2h，
　　v（2h）8h
　　s6（2h）24h
　　dvs24h
　　h其实就是沿正方体底面到正方体空间中心的距离，（6个锥体的高）。
　　从视觉上判断，h的微小变化，可以导致正方体表体如洋葱一样剥离表面。
　　假设将球镀上一层非常薄的金属膜（原球半径是r，膜厚度为dr），那么膜的体积就是V（rdr）V（r）Vdr
　　又由于膜非常薄，故体积面积drSdr
　　所以，dVVdrSdr
　　SV
　　球体积是球半径R的函数，对R求导数才能得球面表面积。
　　如果用直径D来表示的话，则球体积v（D）D6，对D的导数v（D）D2，而球的表面积为D，显然v（D）并不是球的表面积。
　　而对正方体也是如此，若取正方体边长的一半做为变量，则V（2a）8a，求导得v24a表面积。
　　End