压轴题“一题精讲”（三）：动圆中的位置关系

　　圆中的位置关系问题，往往涉及的是点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。只要能够顺利完成下图中的表格，即找到距离与半径间的数量关系，可梳理出圆与点、直线和圆直径的位置关系。
　　链接：；；与“圆相关的位置关系”问题可以采取下图的路径进行解决。
　　与“位置关系”如影随形的往往就是“动点”。处理动点（动圆心）的关键在于“化动为静”，即根据题目要求画出运动过程中的静态瞬间，关注特殊位置。对于每个特殊位置的研究，重在思考什么在边，什么不变。以一般经验而论，不变的往往是特殊图形或特殊图形关系，变的是某些线段和差关系。
　　本题的背景是等腰三角形动圆，并作了BODP，由于圆心O的不断运动，因此点E和点P的相对位置也会发生变化。具体的变化趋势如下图的动画演示：
　　通过视频演示可以发现，本题中的关键位置有三种：即P与C重合，P与E重合以及P与A重合。
　　首先先分析三角形中相关角的三角比以及图中现有的等角和等边。通过过点A向BC作垂线以及过点C向AB作垂线，可以求出BAC和ABC的三角比。通过进一步分析图中的现有背景条件，可以得到APDP。
　　继而继续分析三种位置所对应的x的取值范围：
　　在解题的时候充分利用A和B的锐角三角比，结合垂径定理进行辅助线的添加，通过解三角形的形式求出相应的线段长度。
　　（1）本题的第一问根据上述分析可以得到DPAC5；
　　（2）本题的第二问涉及到分类讨论，即点E在线段DP或其延长线上两种情况：
　　当E在线段DP上时，此时APEP的值恰好为DE，而DE的长可以用含x的代数式表示；当E在DP的延长线上时，此时APEP的值无法直接表示，因此借助“yAPEP以及DEDPEP”这两组等式，化简得到y2APDE，用含x的代数式表示AP，即可得到两者间的函数关系。
　　（3）涉及到了圆与圆的位置关系。此时主要要用含x的代数式表示圆C的半径以及圆心距OP的长度。
　　如图，此时根据DODP，在RtDOP中，可以用含x的代数式表示DP和OP的长度，通过DPAP，可以结合先前用含x的代数式表示AP的范围，联立求得x的值。然后根据CP和BO的和与差，与OP的长度进行比较，从而确定两圆的位置关系。
　　本题的背景同例题一样，还是腰长为5，底边为6的等腰三角形。通过分析求出B和A的三角比，借助垂径定理添加辅助线，继而表示相关线段。
　　（1）建立BO和CD间的函数关系式。过点O作OM的垂线，解BOM，即可得到BD的长度。
　　（2）考察了直线与圆的位置关系。圆O与边AC只有一个交点存在以下两种情况：圆O恰好与边AC相切；圆O与边AC恰好只有一个交点（此时圆O经过点A的临界位置）。（3）考察了相似三角形的存在性问题。由于ABC是等腰三角形，且以C为底角，则EDC也是以C为底角的等腰三角形，从而进行分类讨论。通过发现与目标ABC相等的角，借助三角比和解直角三角形求出x的值。此时可以隐去圆，就图中的边角间的数量关系开展探索。模型链接：特殊等腰三角形中的底角或顶角的三角比