高考数学秘笈1四步解题法之总论

　　高考数学秘笈1四步解题法之总论
　　高考数学秘笈2四步解题法之整体框架
　　高考数学秘笈3四步解题法之实例示范1
　　高考数学秘笈4四步解题法之实例示范2
　　高考数学秘笈5四步解题法之实例示范3
　　高考数学秘笈6四步解题法之明确目标1
　　高考数学秘笈1四步解题法之总论
　　在数学学习中，你是否经常出现这样的现象：明明所学的概念、公式、定理都背熟了，例题也看懂了，但为什么还是不会做习题？
　　这是因为，数学中真正标准的、可以程序化的，像解一元二次方程那样的问题是很少的。解题中，要想把问题中的条件与结论沟通起来，光有雄厚的知识、灵活的方法和成功的解题经验还远远不够。
　　在一般情况下，问题与知识的联系并非是显然的，即使有时能在问题中看到某些知识的“影子”，但毕竟不是知识的原形，或是披上了“外衣”，或是减少了条件，或是改变了结构，从而没有现成的知识、方法可用。
　　为了判断利用什么知识，选用什么方法，就必须对问题进行解剖、识别，对各种信息进行筛选、加工和组装，以创造利用知识、方法和经验的条件。这种复杂的、创造性的分析过程就是数学思维方法作用的过程。因此，正确的思维方法是影响解题成败的最重要的因素。
　　但是，在数学解题教学中，教师和学生都往往只注重基本知识和具体方法，忽视数学观念的培养和数学思维能力的训练，造成解题困难。为了克服这一困难，各种各样的、非本质的、庞杂零乱的具体解题技巧统统被视为规律，成为教师谆谆告诫的教学重点。学生也就试图通过记忆、模仿来补偿思维能力的不足，利用胡猜乱碰代替有根据、有目的的探索，这不仅不能提高学生的解题能力，而且对于系统数学知识的学习，对于数学思维结构的健康发展都是不利的。
　　在解决具体问题时，学生因沒有正确的思维方法造成解题失败的现象时有发生。我们举一个例子。
　　例、设、（0，），且coscoscos（）32，求、之值。
　　【误解】应用和差化积公式和倍角公式，得
　　2cos〔（）2〕cos〔（）2〕2〔（）2〕132。
　　提取公因式，得
　　cos〔（）2〕｛cos〔（）2〕cos〔（）2〕｝14。
　　继续利用和差化积公式，得
　　cos〔（）2〕sin（2）sin（2）18。
　　这样，无法求得、之值。
　　【误解2】应用和角公式，得
　　coscoscoscossinsin32。
　　把方程变形，得
　　sinsin（1cos）（1cos）12。
　　利用倍角公式，得
　　4sin（2）sin（2）cos（2）cos（2）4（2）（2）12。
　　提取公因式，得
　　sin（2）sin（2）〔cos（2）cos（2）sin（2）sin（2）〕18。
　　又得到cos〔（）2〕sin（2）sin（2）18。
　　同样无法求出、之值。
　　纵观上述解题过程，可以看到，造成解题受阻的原因不是解题者知识的缺乏，而在于解题者未能正确把握变形方向，未能在解题之前先进行一番直觉考虑和科学预测。而是盲目变形：见了“和差”就化“积”，见了“和角”就化“单角”，根本不去考虑这些变形的目的与意义，使解题思维陷入混乱，导致解题失败。
　　实际上，本题的实质是解三角方程。但题中只有一个方程，却合有两个未知数，在一般情况下是无法确定未知数的值的，只有在一种极端的情况下（如非负数的和为零，二次方程根的判别式大于或等于零，基本不等式中等号成立等）方可获解，这就启发我们在原方程中去发掘这种极端情况。
　　正确的解法为：将原方程整理成关于cos〔（）2〕的一元二次方程
　　2cos〔（）2〕cos〔（）2〕2〔（）2〕120
　　若要构造非负数的和为零，则会想到配方法。于是，可化为
　　2｛cos〔（）2〕（12）cos〔（）2〕｝（12）sin〔（）2〕0。
　　至此，不难求得a3。
　　若想利用二次方程根的判别式解题，则因方程有实根，得
　　4cos〔（）2〕40，于是cos〔（）2〕1。
　　但cos〔（）2〕l，所以cos〔（）2〕1，可求得a3。
　　本例充分说明了解题中以正确的数学思维方法作指导的重要性。应当说，学生对上述解法中涉及的基本知识（三角恒等变形）和基本方法（配方法、判别式法）是熟悉的，关健是他们想不到用这些知识和方法去解题，这就充分体现了学生对数学思维方法的缺乏与需求。
　　数学思维方法过于广泛，也很抽象。那么，中学数学中是否有一种有规律可循的思维方法？答案是肯定的。在我们多年的教学实践中，总结出一种行之有效的解题思维方法四步解题法，相应著作已在科学普及出版社出版。这里，我们将陆续向大家系统介绍这一方法。