笛卡尔简单的发现，引发了一场深刻的数学革命，致使拓扑学诞生热

　　引言面、边和顶点的数量不是独立的，而是以一种简单的方式联系在一起的。它使用最早的拓扑不变量的例子来区分具有不同拓扑结构的固体。纯数学中最重要和最强大的领域之一拓扑学，是研究几何物体在连续变形后不变的性质。它帮助我们理解酶如何作用于细胞中的DNA，以及为什么天体的运动可以是混乱的。欧拉立方体当19世纪接近尾声时，数学家们开始发展一种新的几何，在这种几何中，长度和角度等熟悉的概念不再是关键，三角形、正方形和圆也没有区别。最初它被称为位置分析，但数学家们很快找到了另一个名字：拓扑。笛卡尔在1639年思考欧几里得的五个正多面体时注意到了拓扑。笛卡尔因此把注意力转向了正立方体，也就是在这个时候，他注意到了关于正立方体的数字规律。一个立方体有6个面，12条边和8个顶点：一个十二面体有12个面，30条边和20个顶点：一个二十面体有20个面，30条边和12个顶点；203012的和等于2。同样的关系适用于四面体和八面体。事实上，它适用于任何形状的固体，规则的或不规则的。如果立体有F个面，E条边，V个顶点，那么：笛卡尔认为这个公式只是一个小小的发现，并没有发表。直到很久以后，数学家们才把这个简单的方程式看作是迈向拓扑学的第一步。在19世纪，纯数学的三大支柱是代数、分析和几何。到了20世纪末，变成了代数、分析和拓扑学。拓扑学通常被描述为“橡皮泥几何”，线条可以弯曲、收缩或拉伸，而圆形可以被挤压，从而变成三角形或正方形，重要的是要保持连续性。连续性是自然世界的一个基本方面，也是数学的一个基本特征。今天，我们主要是间接地使用拓扑。量子场论和标志性分子DNA的一些性质需要通过拓扑来理解。欧拉在1750年和1751年证明并发表了这一关系。FEV的表达式看起来相当随意，但它有一个非常有趣的结构。面（F）是二维多边形；边（E）是线，是一维；顶点（V）是点，是0维。表达式FEV中“”表示偶数维，“”表示奇数维。这意味着可以通过合并面或删除边和顶点来简化实体，这些变化不会改变FEV的结果。现在，我来解释一下。如图所示：
　　简化固体的关键步骤。从左到右：（1）开始；（2）合并相邻面；（3）所有面合并后保留的“树”；（4）从树中删除一条边和一个顶点；（5）结束。
　　首先，把固体变成一个圆球，它的边就是球上的曲线。如果两个面共边，然后你可以删除这条边并将这两个面合并成一个。因为这个合并使F和E都减少了1，它不会改变FEV的结果。一直这样做，直到得到一个面，它几乎覆盖了整个球面（除了这个面，只剩下边和顶点）。它们必须形成一个没有闭合环的网络，因为球面上的任何闭合环都至少分开两个面：一个在闭合环内部，另一个在闭合环外部。这个过程会一直持续下去，直到只剩下一个顶点在一个没有任何特征的球体上。现在V1，E0，F1。FEV1012。但由于每一步FEV不变，它一开始的值也一定是2，这就是我们想要证明的。这个证明有两个成分。一个是简化过程：删除一个面和一个相邻的边，或者删除一个顶点和一个与之相交的边。另一个是不变式，即无论何时执行简化过程中的某一步，它都保持不变的数学表达式。只要这两种成分同时存在，就可以通过尽可能地简化任何初始对象的不变式的值，然后计算这个简化版本的不变式的值。因为它是一个不变量，所以这两个值必须相等。因为最终结果很简单，所以不变量很容易计算。事实上，笛卡尔的公式并不适用于任何固体。最常见的不适用的固体是相框。想象一个由木头制成的四边相框，每条边的横截面都是矩形，在四个角上用45的斜面连接起来，如下图所示。每条边的木头贡献4个面，所以F16。每条木头也贡献了4条边，但是斜接在每个角上创造了4条边，所以E32。每个角包含4个顶点，所以V16。因此FEV0。问题出在哪里？
　　左：FEV0的相框。右图：对相框进行平滑化简后的最终结构。
　　FEV不变性是没有问题的。简化过程也没有问题。但如果你对框架进行处理，总是在一条边上消去一个面，或者在一条边上消去一个顶点，那么最终的简化构型就不是单个顶点在单个面上了。如上图的右图：F1，V1，E2。在这个阶段，移除一条边只是将剩下的唯一一个面与它本身合并，所以对数字的更改不再抵消。这就是我们停下来的原因，但我们还是得到了答案：对于这个构型，FEV0。因此，该方法执行得很完美。它只是对相框产生了不同的结果。相框和立方体之间一定有一些基本的区别，不变量FEV将其体现了出来。前面，我告诉过你把固体“变形成一个圆球”。但这对相框来说是不可能的。即使经过简化，它的形状也不像一个球体。它是一个环面，看起来像一个轮胎，中间有个洞。然而，FEV仍然是不变的。这个证明告诉我们，任何可变形为环面的固体都满足稍微不同的方程：FEV0。因此，我们有了严格证明环面不能变形为球体的基础，也就是说，这两个表面在拓扑结构上是不同的。当然这在直觉上是显而易见的，但现在我们可以用逻辑来支持直觉。正如欧几里得从点和线的明显性质出发，并将它们形式化为严格的几何理论一样，19世纪和20世纪的数学家发展出了严格形式的拓扑理论。
　　左：2孔环面。右：3孔环面。
　　像环面这样的实体，有两个或更多的孔，如图上图所示。结果表明，任何可变形为2孔环面的固体满足FEV2，任何可变形为3孔环面的固体满足FEV4，一般而言，任何可变形为g孔环面的固体满足FEV22g。沿着笛卡尔和欧拉的思路，我们发现了固体的数量性质（面、顶点和边的数量）和具有孔的性质之间的联系。我们称FEV为立方体的欧拉示性数。我们计算孔的数量，这是一种定量操作，但“孔”本身是定性的，因为它根本不是固体的特征。直觉上，它是空间中的一个区域而固体不是。事实上，你越开始思考孔（洞）是什么，你就越会意识到定义一个洞是相当棘手的，比如下图：这是我最喜欢的一个例子，它被称为“孔中之孔”，显然你可以把一个洞穿过另一个洞。情况变得越来越复杂。到了19世纪末，它们在数学中随处可见在复分析、代数几何和黎曼微分几何中。更糟糕的是，在纯数学和应用数学的所有领域中，高维的固体类似物占据了中心地位。太阳系的动力学需要每一个物体有6个维度。它们有更高维度的孔类似物。无论如何，有必要给这个新的领域带来一点秩序。答案是：不变量。拓扑不变量的思想可以追溯到高斯关于磁性的研究。他对磁力线和电力线如何相互连接感兴趣，他定义了连接数，即一个磁力线绕另一个磁力线的次数。这是一个拓扑不变量：如果曲线连续变形，它保持不变。高斯的学生约翰李斯特和高斯的助手奥古斯特莫比乌斯的首次深入了解了高斯的研究。李斯特在1847年的“拓扑研究”中引入了“拓扑”这个词，而莫比乌斯则明确了连续变形的作用。李斯特想寻求欧拉公式的推广。表达式FEV是一个组合不变式。孔的数量g是一个拓扑不变量：无论固体如何变形，只要变形是连续的，它都不会改变。拓扑不变量捕捉形状的定性概念特征；组合函数提供了一种计算方法。这两者结合起来是非常强大的，因为我们可以用概念不变量来考虑形状，用组合不变量来确定我们要讨论的内容。事实上，这个公式让我们完全避开了定义“洞”这个棘手的问题。相反，我们将“洞数”定义为一个包，既不定义洞也不计算有多少个洞。具体怎么做？就是把欧拉公式FEV22g改写成这种形式：现在我们可以通过在立体上“画面”来计算g，计算F，E和V，然后把这些值代入公式。因为表达式是一个不变量，所以不管我们如何分割实体，总是得到相同的答案。但我们所做的一切都不依赖于洞的定义。相反，“洞数”变成了一种直观的解释。这对拓扑学的一个核心问题有重大的突破：什么时候一个形状可以连续变形成另一个形状？也就是说，就拓扑学家而言，这两个形状是否相同？如果它们是一样的，它们的不变量也一定是一样的；反之，如果不变量不同，形状也会不同。由于球面具有欧拉示性数2，而环面具有欧拉示性数0，因此无法将球面连续变形为环面。不太明显的是，欧拉示性数表明这个令人费解“孔中之孔”实际上只是一个伪装的三孔环面。大多数表面的复杂性并不是来自于表面的固有拓扑结构，而是来自于我选择将其嵌入空间的方式。拓扑学中第一个真正重要的定理产生于欧拉示性数公式。它是曲面的一个完整分类，曲面的二维形状，像球面或环面。此外，还强加了一些技术条件：表面应该没有边界，而且范围应该是有限的（术语是“紧凑”）。为了这个目的，表面被本质地描述了；也就是说，它并不存在于周围的空间中。一种方法是把这个表面看成是许多多边形区域，它们按照特定的规则沿着边缘粘在一起。
　　把正方形的边粘在一起做成环面
　　粘合边界的可能性导致了一个相当奇怪的现象：只有一面的表面。最著名的例子是莫比乌斯的带，这是一个矩形带，其两端以180的旋转粘在一起。莫比乌斯带只有一条边，因为矩形的两条分开的边通过半扭的方式连在一起。我们可以很容易做出一个莫比乌斯带，因为它可以很自然地嵌入三维空间。这个带只有一面，也就是说，如果你开始画它的一个表面，然后继续画下去，你最终会覆盖整个表面，前面和后面。这是因为半扭转连接了前面和后面。这不是一个固有的描述，因为它依赖于把带嵌入空间，还有一个等价的，更专业的特性，叫做可定向性，这是固有的。如果我们把一个矩形的两条边粘在一起，就像一个莫比乌斯带，然后把另外两条边粘在一起，不需要任何扭曲。这个表面被描绘成这样一个交叉，它看起来就像一个瓶子的脖子戳过侧壁，并连接到底部。它是由克莱因发明的，被称为克莱因瓶。克莱因瓶没有边界且紧凑，因此任何表面分类都必须包括它。它是所有单面曲面家族中最有名的。在数学的许多领域中，曲面是自然出现的。它们在复分析中很重要，在复分析中，曲面与奇点有关，在这些奇点上函数表现异常例如，导数不存在。奇异性是复分析中许多问题的关键。由于奇异性与曲面有关，曲面的拓扑结构为复变分析提供了一种重要的技术。大多数现代拓扑都是高度抽象的，很多拓扑都发生在四维或多维空间中。我们可以在更熟悉的环境中对主题有一种感觉：扭结。在现实世界中，结是用一根绳子打结而成的。拓扑学家们需要一种方法来防止绳结脱离绳结的末端，因此他们将绳结的末端连接在一起，形成一个闭合的环。一个结就是嵌在空间中的一个圆。从本质上讲，结与圆的拓扑结构是相同的，但在这种情况下，重要的是圆在周围空间中的位置。这似乎与拓扑学的精神相违背，但结的本质在于弦环和围绕它的空间之间的关系。通过不仅仅考虑环路，而且考虑它与空间的关系，拓扑学可以解决关于结点的重要问题。其中包括：
　　我们怎么知道一个结真的打了？
　　我们如何区分拓扑上不同的结？换句话说，两个纽结能否从一个光滑地形变到另一个，而不必切开纽结自身，这仍然被认为是一个复杂的数学问题。纽结不变量是帮助解答这个问题的有力工具，我们接下来会介绍。
　　我们能对所有可能的结进行分类吗？
　　苏格兰理论物理学家PeterTait用多年时间研究出最早的纽结分类表。1910年马克思德恩引进了纽结群的概念。1928年詹姆斯瓦德亚历山大引进了纽结多项式这个更容易处理的不变量。这些都是纽结理论发展之路上重要的进步。大约在1960年以后，结论进入了拓扑学的低潮，等待着创造性的洞见。1984年，新西兰数学家沃恩琼斯发明了新的纽结不变量，称为琼斯多项式，也使用纽结图和三种移动类型来定义。然而，这些移动并不保留结的拓扑类型。然而，令人惊讶的是，这个想法仍然是可行的，而且琼斯多项式是一个结不变量。琼斯的发现为他赢得了菲尔兹奖。它也引发了新的结不变量的爆发。1985年，四组不同的数学家（8个人），同时发现了琼斯多项式的相同推广，并各自向同一份杂志提交了论文。这四种证明都是不同的，编辑说服这八名作者联合起来发表一篇联合文章。它们的不变量通常被称为HOMFLY多项式（基于名字的首字母）。但即使是琼斯多项式和HOMFLY多项式也没有完全回答结理论的三个问题。对所有可能的结进行系统的分类仍然是数学家的白日梦。拓扑有很多用途，但它们通常是间接的。例如，我们对混沌的理解是建立在动力系统的拓扑特性的基础上的。更深奥的拓扑学应用出现在基础物理学的前沿。在这里，拓扑的主要“消费者”是量子场理论学家，因为超弦理论，即量子力学和相对论的统一理论，是基于拓扑的。在这里，类似的琼斯多项式在结理论出现在费曼图的背景下，它显示了量子粒子，如电子和光子如何通过时空移动，碰撞，合并和分裂。费曼图有点像结图。对我来说，拓扑学最吸引人的应用之一是它在生物学上越来越多的应用，帮助我们理解生命分子DNA的工作方式。是因为DNA是双螺旋结构，就像两个相互缠绕的螺旋楼梯。这两条链错综复杂地交织在一起，重要的生物过程，特别是细胞分裂时复制DNA的方式，必须考虑到这种复杂的拓扑结构。有些酶，称为重组酶，切断两条DNA链，然后以不同的方式重新连接。为了确定这种酶在细胞中的作用，生物学家将这种酶应用到DNA的闭合环上。然后，他们用电子显微镜观察修改后的环的形状。如果酶将不同的链连接在一起，图像就是一个结：如果酶使这些链分开，图像显示出两个相连的环。纽结理论的方法，如琼斯多项式和另一种被称为“缠结”的理论，使研究结和连接发生成为可能，这提供了关于酶作用的详细信息。总的来说，你不会在日常生活中遇到拓扑。但在幕后，拓扑学贯穿了整个主流数学，使其他具有更明显实际用途的技术得以发展。这就是为什么数学家们认为拓扑学非常重要，而数学之外的人却几乎没有听说过它。