数学史，为什么孩子要读一读

　　作者孙清先
　　来源《科学大观园杂志》
　　著名的数学大家都具有很高的数学史修养，他们取得的成就在很大程度上是从先辈圣贤那里汲取了丰富的养分。
　　数学具有极高的历史性与累积性，它与物理学、生理学等其他知识门类相比，只存在拓展，不存在重大的修正，比如，希腊哲学家亚里士多德提出的地心说观点在托勒密撰写的名著《天文学大成》的推动下，一度成为最好的天文学体系，其在西方天文学领域存在了1000多年，但是，随着天文观测技术的不断完善以及航海事业发展等诸多社会因素的推动，哥白尼质疑了托勒密的理论，于1539年写出流传千古的著作《天体运行论》，系统地论述了日心说理论。后来，牛顿发现了万有引力，从而彻底推翻了托勒密的地心说理论，因为它是错的。
　　在生理学领域，亚里士多德认为人体的血管内充满着元气，也没有给出元气是如何运行的。直到199年，古罗马医生盖伦肯定地认为人体血管里充满着血液而不是元气，但他把血液看成是从肝脏产生一种东西，血液流经全身时，营养物质被身体各部分吸收，慢慢地被消耗掉了，它是朝一个方向运动，一去不复返。再到1628年，英国医生哈维出版了名著《心血运动论》，在书中哈维认为人体的血液是循环流动的，它从心脏流出，经过动脉血管，流入静脉血管，再回到心脏，血液在血管中不停地循环流动。恩格斯高度评价了哈维的贡献：由于发现了血液循环而把生理学确立为科学。但是，结论还没有得到验证，到后来的1671年，伽利略发明了望远镜，意大利解剖学家马尔比基将望远镜改成显微镜才将血液循环的全部路径摸清楚，哈维的血液循环理论被科学地确定，等等。其他知识门类在发展的过程中，或多或少存在一边修正，一边发展。
　　数学是数学家在不断地继承与拓展中发展起来的，它的概念与思想不存在连根拔起和推倒重来，它是在具有很强包容性的环境中慢慢长成的。2600年前的泰勒斯定理到今天都是有效的，一样起作用，一样完美无瑕；再比如，在数系的发展与完善过程中，希帕苏斯因为发现了无理数而被投入大海。在人类社会发展的2500年中，无理数存在的逻辑基础没有取得丝毫进展，直到欧拉将e写成收敛的无限级数阶乘，证明了e是无理数；兰伯特利用正切函数可以展开为类似连分数的形式证明了圆周率是无理数，再到戴金德和康托儿建立实数理论后，无理数的逻辑结构才真正解决。
　　数学的发展所取得的每一个成果，都需要数学家几十年、几百年甚至上千年的努力才能迈出有意义的几步，他们在迷雾中摸索前进时，有迷茫、有放弃、有斗争，更有挫败后散落于浩瀚天空中的不为人知，但，坚持者所取得的零零碎碎的成果终将使他们成为数学历史天空中璀璨的群星，熠熠生辉。孩子如果能在阅读数学家的心路历程中感受到他们挫而不败的精神，也将从他们身上获得顽强拼搏、攻坚克难的勇气。
　　微积分理论的建立凝聚了许多数学家的努力。起初，在实际应用层面，伽利略设计望远镜需要确定透镜曲面上任意点的切线问题；确定行星运行扫过的面积又需要计算曲线长、曲边图形的面积等问题。解决这些问题的科学家有很多人，开普勒于1615年出版的《测量酒桶的新立体几何》中，揭示了无穷小量方法和无穷小量求和的思想；笛卡尔在1637年出版的《几何学》中用代数的方法讨论了光折射时法线的构造，推动了微积分早期的发展；1635年卡瓦列里在《用新方法促进的连续不可分量的几何学》一书中提出不可分量原理，使用无穷小的方法计算面积与体积；再后来，沃利斯在研究托里拆利的《几何运算》时，得出分数幂积分公式、无穷小分析的算术化等研究结果。在得到微积分理论这段道路上，从亚里士多德开始，就有思想的萌芽，但是直到17世纪上半时期，先辈圣贤的涓涓细流终于汇向微积分这扇神奇的大门。最终，集大成者之一是1667年因疫情而离开剑桥大学到乡下静心创作的牛顿，另一位是莱布尼茨。牛顿的出发点是力学，是以速度为模型建立微积分学；莱布尼茨从几何问题出发，运用分析法建立微积分。
　　微积分是人类智慧的一座高峰，是人类智慧的伟大结晶。恩格斯曾说：在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发展那样被看作人类精神的最高胜利了。微积分的发明，促进了工业大革命，奠定了工业社会文明。有了它，数学能描述变化、描述运动，祝融号也就能如期到达火星。它在研究自然规律、社会规律时都起着非常重要的作用，对哲学，对人类文化也产生极其深远的影响，是一种震撼心灵的智力奋斗。
　　中小学生如果能知晓数学家良苦用心并感受到他们的思想，他们对科学执着的态度，他们追求美与真的的精神，相信定会感同身受，并收获阅读和学习数学的快乐，更能感知数学的真而使它变得无比美丽。
　　儿时的孩子，在数学方面都是一张白纸，在刚接触数学时，他们会觉得他们学习的数学，仿佛是一下子蹦出来的，他们心中充满了各种疑惑，学着学着也许就忘了这些疑惑，学习数学变成了死记硬背，丢失了对数学的好奇心。
　　比如，某些鸟类可以区分包含4种成分的集合，数感并非人类独自拥有，但是，在漫长的历史进程中，只有人类能认识到一块石子和一堆石子、一头羊和一群羊、一棵树和一片森林这些客观事实中，存在某些共有的东西，它是唯一的，在一一对应后，抽象出这些客观事实中唯一的共性就是数，不管是一块石子、一头羊，还是一棵树，我们都用1这个符号表示，1称为数。再比如，无理数的出现为什么会引起数学发展的危机、虚数到底虚不虚？
　　牛顿与莱布尼茨之间关于微积分的发明而产生的恩恩怨怨、欧拉一边抱着孩子，一边笔耕不辍、钟情翰墨，等等。这些疑问，人与事交织的过去都能让孩子认识到数学的美、数学的真、数学的趣，从而产生学习数学的动力。尽早让孩子了解数学思想的发源历史，是学习这个科学非常重要而有意义的一步。
　　近代伟大的华人微分几何学家陈省身曾说：一个数学家的目的，是要了解数学。历史上数学的进展不外乎两个途径增加对已知材料的了解和推广范围。庞加莱曾说：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门学科的历史与现状。可见，对数学史的了解并逐步清晰是强基不可或缺的一部分，这样的了解越早越好。
　　教育的目的不只是为了让每个人学到更多的知识，而是更多地懂得知识的来龙去脉，从而能够转化为自己遇到问题时的应对方法与处理能力。数学知识都明明白白地印在书上，只要我们能识字，一天背诵许多页都不是难事。但是，当我们知道在三维的黎曼几何中，如果曲率等于零，则是欧几里得几何；如果常曲率为正数，则是黎曼几何；如果曲率为负数，则是罗巴切夫斯基几何。在欧几里得几何中，三角形的内角和是180，在另外两种几何中，三角形的内角和却不是180。在这种体系化的理解下，一个人对几何学的认知是通透的，有一种豁然开朗的感觉。
　　从无知此岸到顿悟彼岸的行进过程中，有时只能走曲线，虽然曲线很漫长，但是，走过曲线的过程是有趣的，是有用的。这条曲线就隐藏在蜿蜒的尼罗河，富饶的美索不达米亚，长江与黄河沿岸的河谷历史文化中；隐藏在测量庙宇与祭坛而拉着绳子的人的背影里，隐藏在数学家的斗争与挫败中，它是无价的。而我们有时总觉得这样做效率太低了，浪费了孩子的时间，还不如让孩子多做一做题呢。但做了那么多题后，孩子发现自己不知为什么要做那么多的题，我们的出发点也不仅仅是为了多做一道题。
　　读读欧拉，他是所有人的老师。
　　作者：孙清先（电子工业出版社有限公司），编辑出版方向为数学文化、数学阅读、数学简史、自然科学等科普类读物，致力于保护和激发孩子们好奇心的科普推广工作，曾策划编辑出版《数学在哪里修订版》、《奇妙的数学在这里》和《我超喜欢的趣味数学书》等。
　　特约审稿李文林
　　美术编辑张婷婷
　　文章来源科学大观园杂志