中考数学压轴题分析一线三等角模型的实际应用

　　【中考真题】
　　（2020河北）如图1和图2，在ABC中，ABAC，BC8，tanC34点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AMCN2点P从点M出发沿折线MBBN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQB
　　（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
　　（2）若点P在MB上，且PQ将ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
　　（3）设点P移动的路程为x，当0x3及3x9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；
　　（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ扫描APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒若AK94，请直接写出点K被扫描到的总时长
　　【分析】
　　题（1）根据垂线段最短即可。
　　题（2）利用面积比等于相似比的平方即可。
　　题（3）求点P到直线AC的距离，需要根据点P运动路径进行分类讨论，分为MB、BN两段。利用勾股与三角函数即可得出结论。
　　题（4）中涉及到实际问题。题目看起来比较长，不是很好理解。越是这种题目越需要耐心。当然，作为压轴题，能搞定前3问就很好了。最后一问战略性放弃也是可以的。
　　题目中求的是点K被扫描到的总时长，那就需要理解什么情况下K会被扫描到。因为扫描器按定角APQ扫描APQ区域，所以点K在APQ的内部即可。
　　当点P在BM上运动时，由于点P从M点开始运动且PQBC，当APAK94时开始就会扫描到，直至到点B。
　　当点P从点B运动的过程中，APQ的范围先编写再变大。当CQ的长度大于CK的长度时，就扫描不到了。
　　所以只需要表示出CQ的长度即可。
　　那么怎么求CQ的长度呢？
　　本题的关键就是APQB。
　　易得绿色的两个三角形相似（两个角对应相等），用x表示出CQ的长度。
　　当CQCK时，用速度求出运动的时间。再用总时间减去这部分的时间即可。
　　本题的难点就是需要理解题目的意思，并进行分类讨论。把行程问题转化为几何线段求值的问题。
　　【答案】解：（1）如图1中，过点A作AHBC于H
　　ABAC，AHBC，
　　BHCH4，BC，
　　tanBtanCAHBH34，
　　AH3，ABAC（AHBH）（34）5
　　当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3
　　（2）如图1中，APQB，
　　PQBC，
　　APQABC，
　　PQ将ABC的面积分成上下4：5，
　　S（APQ）S（ABC）（APAB）49，
　　APAB23，
　　AP103，
　　PMAPAM103243
　　（3）当0x3时，如图11中，过点P作PJCA交CA的延长线于J
　　PQBC，
　　APABPQBC，AQPC，
　　（x2）5PQ8，
　　PQ85（x2），
　　sinAQPsinC35，
　　PJPQsinAQP2425（x2）
　　当3x9时，如图2中，过点P作PJAC于J
　　同法可得PJPCsinC35（11x）
　　（4）【方法一】
　　由题意点P的运动速度93614单位长度秒
　　当3x9时，设CQy
　　APCBBAPAPQCPQ，APQB，
　　BAPCPQ，
　　BC，
　　ABPPCQ，
　　ABCPBPCQ，
　　5（11x）（x3）y，
　　y15（x7）165，
　　150，
　　x7时，y有最大值，最大值165，
　　AK94，
　　CK594114165
　　当y114时，11415（x7）165，
　　解得x732，
　　点K被扫描到的总时长（11463）1423秒
　　【方法二】
　　点P在AB上的时候，有114个单位长度都能扫描到点K；
　　在BN阶段，当x在3～5。5（即71。5）的过程，是能扫到K点的，
　　在5。5～8。5（即71。5）的过程是扫不到点K的，
　　但在8。5～9（即点M到N全部的路程）能扫到点K
　　所以扫到的时间是
　　〔（98。5）（5。53）114〕1423（秒）