概率的启示：雅各布伯努利与大数定律

　　他出生于瑞士的巴塞尔，在他的家族中，有五六位成员曾在数学和概率论领域中做出过重要贡献，雅各布是其中最负盛名的。他的贡献中，最重要的、对后世起了最大影响的，就是“频率接近比率”这个论断的数学证明。
　　学过平面几何的读者知道，在数学上对论证的要求很严格。为证明一个几何定理，例如三角形的三条高相交于一点，要经过多步推导，每一步都要有严格的依据，一丝不苟。“大体上”“左右”“大约”这些含糊的字眼多次出现，这够不上数学论证的标准。
　　在历史上，第一个企图对“当试验次数n愈来愈大时，频率mn会愈来愈接近比率p（b）”这个论断给予严格的意义和数学证明的，是早期概率论历史上最重要的学者雅各布伯努利（16541705）。他出生于瑞士的巴塞尔，在他的家族中，有五六位成员曾在数学和概率论领域中做出过重要贡献，雅各布是其中最负盛名的。他的贡献中，最重要的、对后世起了最大影响的，就是“频率接近比率”这个论断的数学证明。说来有趣的是，他之所以研究这个问题，并非因为他对这个论断之真伪存在疑问。如他自己在著作中所说，甚至那些最愚笨的人，出于其自然的天性而无须他人指点，也会相信这一点。因为这个论断得到如此广泛的公认，它理应有其理论上的根据所在，他的目标就是找出这个根据。
　　除了这个问题以外，伯努利还对现代高等数学的基础微积分的发展起了重要的作用。他生活的那段时期正值牛顿和莱布尼茨发明了微积分。伯努利与莱布尼茨有着良好的个人关系，他通过与莱布尼茨的通信，与后者探讨微积分研究中的问题。有的学者认为，他当时对这个重要领域的贡献，是牛、莱以下的第一人。
　　在现代，学者们进行学术交流的方式很多。交通和通信的进步，使个人接触和会议交流变得很方便，还有众多的期刊与专业著作等。在伯努利时代则不同，当时学术交流的主要手段，是学者之间的个人通信。就伯努利而言，他在概率论方面的研究，得益于与惠更斯的联系。惠更斯（16291695）是欧洲当时最著名的概率论学者，他在1657年出版的著作《机遇的规律》，是卡尔达诺《机遇博弈》之后最有影响力的概率论著作，曾在长达50年的时间内成为这门学科的标准教科书。伯努利与惠更斯长期保持通信联系，他仔细研究过惠更斯的上述著作，并为这本书写了详细的注解，这些都写进了他的成名作《推测术》中。
　　《推测术》在概率史上的评价很高。有的学者认为，它的问世标志着概率论脱离其萌芽状态而走向严格数学化发展方向的开端。伯努利写这本著作是在他生命的最后两年（他死于1705年），在他去世时书尚未完全定稿。遗留的工作由他的侄儿、概率论学家尼科拉斯伯努利完成，后又经过一番周折，这部著作才得于1713年出版。
　　该书分4个部分。前3部分是到那时为止有关古典概率计算所积累的一些成果的总结和提高。重要的是第4部分，在其中他用严格的数学方法证明了前面提及的那个结论：当n愈来愈大时，白球出现的频率mn愈来愈接近白球在盒中的比率（b）。
　　这个结论现在通称为“大数定律”。在概率论上还有许多类似的结果也称作大数定律，为加以分别，特别称呼它为“伯努利大数定律”。
　　伯努利大数定律的重大意义，在于它揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性，或简单地讲，在纷乱中找到了一种秩序。如果你每天在盒中抽一个球并记下其结果（再放回去），当抽到白球时记以1而抽到黑球时记以0，则你得到的是一串杂乱的数字，例如，
　　1100010011110110000010110
　　外表上看不出有何特征或规律性。如果有另一个人把你刚才所做的重做一遍，他也得出这样一串由0和1构成的数字，同样杂乱无章，但与你那一串并不相同。伯努利大数定律告诉我们，这表面的纷乱之下其实存在着一种规律性，即在这数串中，1所占的比率愈来愈稳定到一个值上面，此值即盒中白球的比率。在开始的一段中，比率的变化可以是很大的，这个稳定性要到数串的长度足够“大”时才显示出来，这正是大数定律这个名称的由来。
　　跳出这个盒子模型，对大数定律的意义做一种更宽广的解释，可以不夸张地说，它反映了我们的世界的一个基本规律：在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，着眼在一个个的个体上看，是杂乱无章、毫无规律、难于预测的；但由于大数定律的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形态。
　　例如一个封闭容器中的气体，它包含大量的分子，它们各自在每时每刻的位置、速度和方向上，都以一种偶然的方式在变化着，但容器中的气体仍能保有一个稳定的压力和温度。电流是由电子运动形成的，每个电子的行为杂乱而不可预测，但整体看呈现稳定的电流强度。在社会、经济领域中，群体中个体的状况千差万别，且变化不定，但一些反映群体状况的平均指标，在一定时期内能保持稳定，或呈现规律性的变化。究其根源，都是由于大数定律的作用。
　　本文转自图灵新知，节选自《机会的数学》，〔遇见数学〕已获转发许可。
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