角度问题之倍角问题

　　中考压轴题中常见一类题目，条件或者问题中含有一个角是另一个角的两倍，这样的角度问题我们特归纳为倍角问题。
　　《渔家傲秋思》范仲淹塞下秋来风景异，衡阳雁去无留意。四面边声连角起，千嶂里，长烟落日孤城闭。浊酒一杯家万里，燕然未勒归无计。羌管悠悠霜满地，人不寐，将军白发征夫泪。
　　基本问题
　　如图，在RtABC中，AC9，BC8，AEBF5，问FACEBC？并证明。
　　解题障碍：此题除了有一个90外并没有提及其他角度，最后要求证角度，所以可以猜测最后结果为特殊角，但是证明却是一个难点。
　　动图赏析：
　　解题之道：整体思想；居高临下解题之术：1、构造等腰三角形，形成倍角。2、高中三角函数倍角公式。解题之本：等腰三角形判定和性质，三角函数等相关知识。
　　思路描述：
　　如图，添加辅助线EF，可由RtEFC得到EF5，然后形成两个等腰三角形AEF和BEF，这样利用导角，2倍的FACEBC等于90，利用整体思想即可求出答案45。
　　本题并不难，但是引出了一个很好的倍角问题的解决方式，那就是构造等腰三角形。
　　其次，此题还可以进一步推演，推出以下经典数学模型：（江苏于新华老师首创）
　　这就是“12345模型”，为了更好识记此模型，我们可以利用下图：
　　从上图还可以得到“123模型”。同理，利用这样一个方法，还可以得到很多角度公式，这里就不一一叙述了。问题生长问题：条件中含有倍角关系怎么办？问题：问题中含有倍角关系怎么办？
　　问题：图中含有倍角关系呢？
　　特注：以上问题都有多种解法，不过主要分为两种：角分线或者构造等腰（8种）；基本思想还是把倍半角转化为等角来处理。
　　最后一小问除巧构等腰化半为倍外，后用了不常见的SSS证全等，构思很巧。画图不易观察到。
　　问题：由倍角关系推出边的倍数关系。四边形ABCD中，ABBC，E在BC上，EDEC，AECD，EDA2ACB，求证：2BEAD
　　此题巧用向外延长构造等腰化倍为半，同时倍长中线，最后还有一巧，等量代换导边，很厉害。
　　问题：倍角问题和圆综合。如图，已知BDC2CBD，ACB30，ABD60，求证ABCD。
　　此题要利用到内心，三点共圆，不过也存在构造等腰化半为倍。不用共圆法直接构等腰好像行不通。
　　问题：倍角问题和格点问题综合。中考真题（来源于：有一点数学公众号）
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