小学奥数每日一题018卡拉数学

　　题目：有101条线段，它们的端点互不相同，但都位于同一条直线上。任意一条线段都至少与另外50条线段有公共部分。问其中是否一定能找到一条线段，与另外100条线段都有公共部分？
　　今天的题目是组合问题，相传来自古希腊，解题所用知识不超过小学4年级。
　　如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。
　　思路分析：
　　这道题属于组合问题，要说明不一定能找到这样的线段，需要构造出一种线段的排列方式；
　　要说明一定能找到这样的线段，需要给出严格的证明。
　　这里我们采用严格证明的方法，解题过程中需要用到最值原理：即有限个数中一定有最大和最小值。
　　应用最值原理的一个简单变形，考虑所有线段中左端点中最靠右的一条，把这条线段记作L（1），其左端点记作A；考虑所有线段中右端点中最靠左的一条，把这条线段记作L（2），其右端点记作B；显然A，B两点不会重合。
　　我们先讨论当A位于B左侧时的情况，再讨论当B位于A左侧时的情况，二者综合就是最终的答案。
　　步骤1：
　　先思考第一个问题，当A位于B左侧时，是否能找到满足题目要求的线段？
　　由于此时A在B的左侧，故可以把AB看作一条线段，
　　下面将说明AB是这101条线段的公共部分：
　　由于所有线段的左端点都在A左侧，且所有线段的右端点都在B右侧，故这101条线段都包含了AB在内。这说明任意两条线段都有公共部分，因此任意一条线段，与另外100条线段都有公共部分。
　　注：对不太擅长空间想象的孩子，在纸上画个图会更直观。
　　步骤2：
　　再思考第二个问题，当B位于A左侧时，是否能找到满足题目要求的线段？
　　由于B位于A的左侧，故L（1）与L（2）两条线段无公共部分。注意到L（1）与50条线段有公共部分，且L（2）与50条线段有公共部分，除L（1）与L（2）外只有99条线段，由于505099，故定有一条线段与L（1）、L（2）都相交，不妨把这条线段记作L（3），显然A，B点都在L（3）上。
　　下面将说明L（3）与所有线段都相交。
　　对这101条线段中的任一线段P，由于线段P的左端点在A点左侧，而A点在L（3）上，故线段P不全在L（3）的右侧；由于线段P的右端点在B点右侧，而B点在L（3）上，故线段P不全在L（3）的左侧。故线段P与L（3）有公共部分。
　　因此L（3）与所有线段都有公共部分。
　　步骤3：
　　综合上述几个问题，考虑原题目的答案。
　　由于A，B两点位置只有两种情况，分别对应着步骤1与步骤2。
　　而在步骤1和步骤2中，都能找到满足题目要求的线段。所有原题的答案是一定能找到。
　　你学会了吗？
　　有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题
　　思考题：原题目改个条件
　　有101条线段，它们的端点互不相同，但都位于同一条直线上。任意一条线段都至少与另外49条线段有公共部分。问其中是否一定能找到一条线段，与另外100条线段都有公共部分？
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