对数（对数与对数函数之间不得不说的秘密）

　　考纲原文
　　（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
　　（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。
　　（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。
　　知识点讲解
　　一、对数与对数运算
　　1对数的概念
　　（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e2。71828为底数的对数lnN。
　　2对数的性质
　　3对数的运算性质
　　4对数的换底公式
　　换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明。换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数。
　　二、对数函数及其性质
　　1对数函数的概念
　　2对数函数的图象和性质
　　一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：
　　在直线x1的右侧，当a1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0
　　3对数函数与指数函数的关系
　　考向分析
　　考向一对数式的化简与求值
　　对数运算的一般思路：
　　（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；
　　（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算。
　　注意：
　　（2）注意利用等式lg2lg51。
　　考向二对数函数的图象
　　3对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想求解特别地，要注意底数a1和0
　　4一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。
　　考向三对数函数性质的应用
　　对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：
　　（1）比较对数式的大小：
　　若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；
　　若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
　　若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较
　　（2）解对数不等式：
　　考向四对数函数的复合函数问题
　　与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似。研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解，此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值。
　　【名师点睛】
　　1、利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其桥梁作用，来比较大小
　　判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解同增异减的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）。
　　2、对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小。对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示。
　　3、比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较。