自然数（零为什么变成自然数？）

　　作者李开周
　　来源节选自《武侠数学》的序言，李开周著，化学工业出版社。
　　就人类整体而言，思想是不断进步的，后人的认识通常会超越前人，我们对零的认识也是如此。20世纪70年代或80年代开始读书的朋友必定都记得，当时的数学课讲自然数，都从1开始，1是最小的自然数。现在的孩子上小学，数学老师却会告诉他们，最小的自然数是0。短短几十年，从零不是自然数到零是最小的自然数，人们的认识又有了一个飞跃。
　　零是数字，零是整数，我们受过基础教育，觉得这些认识都很自然。零居然是自然数，这个认识就显得不那么自然。我们平常数数，数某种事物有多少，不都是从1开始吗？没见过从0开始数的。如果哪位指着一堆苹果开始数：0、1、2、3、4大概会有人觉得他不正常。
　　1889年，意大利数学家朱塞佩皮亚诺（GiuseppePeano，1858年1932年）提出五条公理，可用文字描述如下：
　　公理1：1是自然数；
　　公理2：每个确定的自然数a，后面都有一个确定的相邻数a，a也是自然数；
　　公理3：1不是任何自然数后面的相邻数；
　　公理4：不同自然数拥有不同的相邻数；
　　公理5：任意关于自然数的命题，如果能证明该命题对1为真，并且它对自然数a为真时可证明它对a也为真，那么这个命题就对所有自然数为真。
　　这五条公理称为皮亚诺公理，其中第一条、第三条和第五条公理，都不假思索地认定1是最小的自然数。将皮亚诺公理运用于当时的数学体系，严丝合缝，堪称数学大厦的一块基石。
　　皮亚诺为数学大厦提供基石的同时，别的数学家也在为数学大厦添砖加瓦。19世纪末，就在皮亚诺提出五条公理不久以后，数学的一大分支群论发展到关键时期，一些数学家用群论这把利器重新解剖整数和自然数，发现了一个非常危险的破绽：如果不把零放进自然数群，整数群就会变得不完整。所以，为了能让数学体系互不矛盾、自成逻辑，为了保证整个数学大厦固若金汤、坚不可摧，这些数学家就让零加入自然数家族，成为最小的自然数。
　　进入20世纪，有的数学教材把零当成自然数，有的数学教材坚持零不是自然数，时间越往后，认可零是自然数的教材就越多。在欧美数学界，主流意见都认为零是自然数。所以在1993年，中国国家技术监督局修订量和单位的国家标准，规定零是自然数。于是乎，我们的数学教材随之修改。于是乎，00后新生代在零的认识上与国际接轨，70后与80后家长被甩在后面。于是乎，爸爸妈妈们辅导小朋友数学作业时，会有这样的对话：
　　宝贝，最小的自然数是1，你这道题写错了。
　　没有错，老师今天刚讲过，零也是自然数！
　　家长不信，一查教材，果然！大惑不解：咦，是不是印错了？而看过本书的爸爸妈妈就不会有这样的困惑。
　　在本章最后，让我们再温习几点关于零的知识。
　　最小的自然数是0不是1；
　　最小的个位数是1不是0；
　　0不是正数，也不是负数，它是唯一的中性数；
　　0是偶数；
　　0不是质数，也不是合数；
　　任何数加减0，值不变；
　　任何数与0相乘，积为0；
　　任何不是0的数的0次方都是1；
　　0不能作除数，任何数除以0，都没有数学意义；
　　0是十进制位值数中唯一的占位符，表示该数位为空；
　　0可以表示起点，例如直尺的起点刻度线都是0；
　　0可以用于编号，例如001、002
　　0可以表示界限，例如0度以上、0度以下
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　　作者：李开周
　　出版社：化学工业出版社
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