文化交流、文献考证及地理问题给数学概念的历史考证带来了很多变数，大家一度以为的世界领先往往只存在一段时间，而一旦有了新的发现，这种记录随时都有被打破的可能。 杨辉三角是数学家们为了求解高次方程而引入的一个几何排列。在我国，它的发现归功于11世纪的北宋数学家贾宪，这比西方的帕斯卡三角（1654）早600年，在世界也一度领先。大家肯定会疑惑，明明是贾宪的发现，为什么它不叫贾宪三角呢？ 杨辉三角 历史上这种张冠李戴的事情还是很多的，比如，求解三次方程卡丹公式由塔尔塔利亚给出，关于极限求值的洛必达法则应归功于约翰伯努利，阿拉伯数字是印度人发明的，托勒密定理属于三角形之父喜帕恰斯。。。。。 印度人发明的阿拉伯数字 这些数学概念的命名，并非因为谁最先发现，而是依据谁最先发表。 杨辉三角就是因为它最先出现在我国南宋时期著名数学家杨辉的《详解九章算法》（1262）一书中。尽管杨辉在书中声明这一发现应归功于北宋数学家贾宪（约1050年），但人们依旧将错就错，杨辉三角一叫就叫了千年，贾宪三角是20世纪以来才有的叫法。 杨辉的《详解九章算法》 左衺〔xi〕乃积数，右衺乃隅算，中藏者皆廉， 杨辉在杨辉三角旁这样注释到。 翻译成通俗的语言是这样的：杨辉三角最外边左、右斜线上的数字，都分别是各次开方的积数（an）和隅算（bn）的系数，中间所藏的二、三、三等分别是开平方、立方的廉。 杨辉三角虽然只给出了7列，但是明显他已经发现了这个表的构造性质每一项等于其肩上两项的和，如第5列的第三个数6，等于其肩上两数之和33（第4列的第二、三个数）。据此性质可以得到它的下一列（第8列）为：1，7，21，35，35，21，7，1。以及第9列：1，8，28，56，70，56，28，1。以下各列依据此规律，在已知第n列的情况下，可轻松得到第n1列。 如此优美的三角形是如何得到的呢？它的每一个数又代表什么意义？我们又得回到数学家贾宪这里，约1050年，他发现了求高次方程数值解的方法立成释锁开方术，该方法的核心步骤是代换，如求方程x437的近似值，需要令xy2然后展开。 这里要求（y2）4的展开式，在符号没有普及的宋元时期是一个很难的工作，即使今天我们如果按多项式的乘积展开对学生来说也是不容易的。有没有简单一些的做法呢？答案是有，使用杨辉三角即可。为了方便叙述，我们以（ab）4为例。 首先，（ab）4展开式化简后有5项，其系数分别为：1，4，6，4，1（杨辉三角第五列）。 其次，从第一项开始，每一项都是x的m次幂与y的n次幂的乘积，mn4，且y的次幂m从4次降到0次，2的次幂n从0次升到4次。即 使用杨辉三角，我们可以轻松得到二项式（ab）的展开式，这是一项伟大的工作，这不仅因为它为求解高次方程扫清了障碍，还因为它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来。 那么问题来了，杨辉（或贾宪）得到这个表的方法是纯粹的归纳还是有严谨的推理证明呢？我更倾向于前者，因为在我国宋元时期，并没有讨论到组合学的相关内容。而杨辉三角从现在的角度理解，其本质是二项式系数（组合数）在三角形中的一种几何排列，组合学知识是二项式展开式的基础。下图构成了杨辉三角每一项与二项式、二项式系数的对应关系。 我试着用通俗的数学语言为大家解释杨辉三角是如何计算的，亦即二项式定理的一个简单证明。二项式定理即 大家很容易发现它的各项系数构成了杨辉三角的第n1列。 二项式定理的证明 （1）。当n2时，（ab）2（ab）（ab）a22abb2，其展开原理见动图 展开式原理动图 由此可知，（ab）（ab）的展开式中的每一项，相当于从第一部分（ab）中选出a或b，与第二部分（ab）中选出a或b来相乘。如，a2相当于从两部分中都选了a相乘，而要得到ab有两种可能从第一部分选a、第二部分选b相乘，或从第一部分选b、第二部分选a相乘，所以它的系数为C（2，1）2 （2）同理，当n3时，（ab）3（ab）（ab）（ab）中的a2b的系数可以这样得到：在三部分中选二部分让其拿出a，与剩下一部分拿出b来相乘，共有C（3，2）3种可能，所以其系数为3，即3a2b （3）一般的，（ab）n由n个（ab）相乘得到（ab）。。。（ab）（ab）。其展开式的每一项都是由这n个部分中选a或b出来相乘得到。如，an由每一部分都选a来相乘得到，只有一种可能，其系数为1，而 所以，n部分中要让四部分选b，共有C（n，4）种可能，故其系数为C（n，4）。 虽说这是任意一个高二学生就已知晓的内容，但是关于任意正整数n的二项式定理的第一个证明却要直到1654年才由法国数学家帕斯卡（Pascal）给出，同时帕斯卡也给出了类似的排列，也因此欧洲数学家将杨辉三角叫做帕斯卡三角。 如下图， 记表格的第n1排、第n1列所在数为tmn，帕斯卡通过统计证明得到： 但是一直以来，欧洲数学家并不知道中国、印度及阿拉伯在这方面的工作，觉得帕斯卡三角的发明权应属于欧洲，随著全球文明的交汇融合、古代文献的不断发掘考证，进入2021世纪，全球数学家渐渐承认了中国在这一领域的世界领先地位。 但同时，随著印度、阿拉伯文献的进一步考证，杨辉三角的首发权又将移位到印度。尽管只有只言片语，但公元前2世纪的印度数学家Pingala的确已经有了杨辉三角的雏形，其后的两位印度数学家Varhamihira（公元505年）及Halayudha（公元975年）给出了更详细的描述。而Mahvra（公元850年）走得更远，他实际上相当于早于帕斯卡得到了组合数公式，这在目前来看是世界第一的。 针对古印度数学家在这一领域的成就，我们也应该存部分怀疑的态度，因为古印度的数学著作都是以诗歌形式出现的，其翻译难度不亚于对古文的翻译，而且古印度数学家的生存年代也往往存疑。各家之言，是否符合史实还需要进一步的证据支撑。 总之，由于种种原因，杨辉三角有了多个名称，其他如帕斯卡三角、杨辉三角、海亚姆三角、塔尔塔利亚三角等。同时，杨辉三角的发现者仍在不断的改变从帕斯卡、杨辉、贾宪，再到印度的Pingala。 类似于杨辉三角这样的数学成果还有很多，它们同时存在于不同的名族、并在不断的改变、改进，但数学不应该有国界，数学的发展应该是世界人民的共同努力促成的结果，我们以人类拥有这样的理解力、发展力而感到骄傲。
