质数有哪些（什么是质数）

　　素数或者说质数，是指只能被1和自身整除的大于1的自然数。对于其他比1大的自然数，它们就都是合数，能够被除了1和自身之外的其他数整数。显然，质数和质数相乘所得到的数必然是合数。
　　一直以来，质数的研究被认为只有纯数学上的意义，实际并没有什么价值。直到上个世纪70年代，麻省理工学院（MIT）的三位数学家李维斯特、萨莫尔和阿德曼共同提出了一种公开密钥加密算法，也就是后来被广泛应用于银行加密的RSA算法，人们才认识到了质数的巨大作用。
　　质数为什么能用于加密算法？
　　这个问题就要涉及到大数的质因数分解。如果把一个由较小的两个质数相乘得到一个合数，将其分解成两个质数（除了1和自身的组合之外）很容易，例如，51的两个质因数为3和17。然而，如果两个很大的质数相乘之后得到一个非常大的合数，想要逆过来把该数分解成两个质数非常困难。例如，511883，分解成两个质因数之后为557和919；2538952327（超过25亿），分解成两个质因数之后为29179和87013，这个难度明显要比上一个数大得多。
　　截至今年一月份，目前已知最大的质数是2825899331，这个数拥有超过2486万位。即便是超级计算机，也很难有效对两个质数相乘得到的合数进行质因数分解，所以这样的原理可以用于加密算法。
　　什么是RSA加密算法？
　　RSA算法是一种非对称加密算法，加密和解密所用的密钥是不一样的，解密所用的密钥对应于加密所用的密钥。假设甲向乙发送信息a，那么，a是需要进行加密的信息；再假设b是一个由两个质数相乘得到的合数；c是一个与欧拉函数有关的数，这是公钥；d是c关于欧拉函数值的模倒数，d就是私钥。
　　信息加密
　　乙在产生合数b和公钥c、私钥d之后，乙会把b和c传给甲，d则保密不被传输。甲利用公钥c对信息a进行加密，即计算ac除以b的余数e，即acmodbe，所得到的e就是密文。于是，甲把密文e传送给乙。
　　信息解密
　　乙在得到密文之后，利用私钥d对密文e进行解密。可以证明，ed除以b的余数正是信息a，即edmodba，这样就完成了信息的解密。
　　由于合数b、公钥c、密文e都会被传送，这些信息就有可能被窃取。如果窃取者想要破解信息，需要知道私钥d。想要通过公钥c来算出密钥d，就需要对合数b进行质因数分解。但合数b是由两个质数相乘得到的大数，想要成功分解该数极其困难。
　　目前，RSA加密算法用到的大数已经有数百位，它们一般都是分解成两个上百位的质数。如果继续增加大数的位数，还能进一步降低被破解的风险。因此，RSA加密算法的安全性能十分有保障，这就是为什么它会被广泛应用的原因。