压轴题“一题精讲”（二）：相似三角形的存在性

　　“相似三角形的存在性”是中考压轴题中一类常见的问题。为了避免讨论分支太过复杂，一般会给出部分对应关系，最常见的就是给出一组同角（等角），则同角（等角）所对边为对应边。所以这类问题一般从确定一组等角（或同角）入手，如果两个三角形中夹同角（或等角）的边易于列代数式表示，则建议通过列比例式，解方程求解；反之，则需要根据具体题意转化等角关系为特殊图形或特殊图形关系，借助基本图形，进而求解，若出现无法确定同角（或等角）的情况，也可以列表分析。（以下习题及解法部分选自黄喆《图解中考数学压轴题》）
　　（1）本题的第一问的题设和结论出现了比例式，由于本题是等腰梯形的背景，根据ADBC以及BDCB，图中并没有相似三角形，因此联想到构造AX型基本关系，构造比例关系。图中出现了丰富的比例关系，因此可以设AD2a，则BFa，CF3a。图中有一组现成的平行线，且其中线段间的比例关系主要体现在点E和点G，因此可以联想延长CE、DA交于点M或过点E构造平行线交DF于N，借助AX型基本图形，用含a的代数式表示相关线段的长度，从而求得DG：GF的比值。
　　解法一：延长CE、DA交于点M。利用AMBCX型图，用含a的代数式表示AM、DM的长；借助DMCFX型图表示DG：GF的值。解法二：过E作ENBC交DF于N，过F作FQAB交EN于P。利用PNDQA型图，用含a的代数式表示PN、DQ的长；借助ENCFX型图表示GN：GF的值，借助N为FD中点，得到DG：FG的值。（2）本题的第二问在第一问的前提下寻找AG和CD的数量关系和位置关系，通过猜想，两者的位置关系是平行。而图中无法通过角来证明平行，因此只有添加辅助线构造A或X型基本图形，从而通过线段间的比例关系证明平行。解法一：可以借助第一问的辅助线，利用AGCDA型图，借助AM：AD、MG：CG的比值，判断AG和CD的数量关系和位置关系。解法二：延长AG交BC于P。利用ADFPX型图，借助DG：GF的比例关系，可以得到FPa，CP2a，则四边形APCD为平行四边形，可得出AG和CD的数量和位置关系。（3）本题的第三问是相似三角形存在性的讨论。第一步：找一组等角ADBC，ADGDFC，ADG与CDF相似，AGDGDC或AGDDCF。第二步：按角分类求解当AGDGDC时，有AGCD，求BF的长：当AGDDCF时，设BFx，发现图中的相似三角形，从而列出比例式。