初二奥数精讲第14讲相似（一）

　　本讲适用于初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。
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　　一、知识点解析
　　1。基本知识
　　如果一个图形，按一定的比例扩大或缩小，然后通过适当的平移、旋转、对称变换，可使之与另一个图形重合，则称这两个图形是相似的。由一个图形变成与它相似的图形时，有如下的不变量：
　　（1）对应线段的比不变；
　　（2）对应角的大小不变；
　　（3）线段平行、垂直的关系不变；
　　（4）点共线与线共点的关系不变。
　　与面积有关的基本结论：
　　等积定理：等底等高的两个三角形面积相等，
　　面积比定理：等底（高）的两个三角形面积的比等于它们对应高（底）的比，两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方。
　　共角定理：共角（角相等或互补）的两个三角形的面积比，等于夹这个角的两边的乘积的比。
　　共边定理：共边的两个三角形的面积比，等于这边所对顶点到这边的距离比，也等于这边所对顶点到它们的连线（或延长线）与这边的交点的距离比。
　　2。基本方法
　　对于线段成比例的问题，常用如下一些方法：
　　（1）构造平行线，利用平行线截线段成比例定理。
　　（2）构造相似形，利用相似形的对应线段成比例。
　　（3）面积法，利用等底（高）的两个三角形的面积比等于对应高（底）的比。
　　3。基本问题
　　证明三角形相似：寻找相等的对应角与成比例的对应边。
　　求线段（比）：将待求线段作为一个三角形的边，通过三角形相似建立比例关系。
　　证明恒等式：将等式转化为比例式，然后利用相似三角形建立比例关系。
　　求面积（比）：利用相似关系或者利用共边（高）三角形将面积比转化为线段比。
　　求角度：将待求的角作为一个三角形的内角，通过三角形相似建立角的等量关系。
　　证平行垂直：通过相似三角形发现有关角的关系，由此计算有关线的夹角。
　　这部分主要考察学生对相似的了解及掌握。相似是几何部分的重要工具，这部分题型种类繁多，会与其他知识点混合在一起考察，需要一定的空间想象能力和知识基础，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。
　　二、例题
　　例1
　　分析：A是公共角，所以要证明这两个三角形相似，只需证对应角相等，或证夹A的两边对应成比例。由于“高”可产生相似三角形，从而得到所需要的的比例关系。
　　证明：
　　例2
　　如图，已知D是ABC的边AB上一点，AD：DB1：2，A45，BDC60，求证：CBDABC。
　　分析：目标的两个三角形有公共角B，所以只需证另一对角相等或夹B的两条边对应成比例，条件给出了两个特殊角，而能够发挥这两个特殊角作用的是直角三角形，所以应添加辅助线构造出含这两个角度的直角三角形。
　　解答：
　　例3
　　如图，过ABC的顶点B和C分别作AB、AC的垂线BD与CD，两线交于D，由C作CEAD交AB于E，交AD于F。求证：ACEABC。
　　例4
　　如图，设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，且。若BADBCA180，AB6，AC5，AD4，求BC的值。
　　例5
　　如图，在ABC中，ACB90，AD、AE分别为ABC的内角与外角的平分线交BC和BC的延长线于D、E。求证：AB2：BE2CD：CE。
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