希尔伯特空间(英语:Hilbertspace),完备的内积空间,n维欧几里得空间的推广。又称无穷维欧化空间。欧几里得空间Rn最突出的特点是向量的内积,两个向量x(x1,x2,xn)Rn,y(y1,y2,,yn)Rn的内积是,由内积可导出两个向量的互相垂直成正交:x与y互相垂直(x,y)0,记作xy,这与三维欧几里得空间中向量相互垂直的几何概念一致,有了正交概念就可进而引入正交投影、正交基等一系列概念,希尔伯特空间就是有限维内积空间向无限维线性空间的推广。R3中基本概念和研究方法也被相应地拓广到希尔伯特空间中,希尔伯特空间是泛涵分析研究的基本对象之一,并且成为量子力学、积分方程、正交级数理论等方面研究问题的重要工具,设l2(x1,x2xn,):每一xn为实数(或复数),对于x(x1,x2,xn,)、y(y1,y2,,yn,)l2,xy(x1y1,x2y2,,xnyn,),ax(ax1,ax2,,axn,),则l2为一线性空间,规定内积,则l2成为一个希尔伯特空间。