薛定谔方程中的额外维度，我们如何才能看到它？这意味着什么？

　　弦理论是统一量子力学、引力和广义相对论的主要科学成果之一。这个理论带来了惊人的预测，最引人注目的是，我们生活在一个更高维度的世界，而不是一个三维世界（相对论是四维时空）。
　　根据弦理论的不同，额外维度的数量也不同。然而，这些额外的维度在哪里呢？到目前为止还没有人注意到它们。这就是我们的弦理论吗？显然不是，否则，成千上万的物理学家不会把他们的一生奉献给这个物理学分支！
　　在本文中，我想让这些想法更具体一些。我们将看看上帝的主方程之一，薛定谔方程，并把它应用到玩具世界。这让我们看到，卷曲的额外维度有什么影响，以及我们如何观察它们。
　　薛定谔方程（没有额外维度）
　　我们的玩具世界只有一维，一个缩小版的平面。它向两个方向无限延伸。这个玩具世界的薛定谔方程式是这样的
　　其中（）为系统的势能函数，为总能量。让我们进一步假设把一个粒子困在一个很小的体积里，比方说在0和之间。我们以某种方式把它控制在这个区域，它可以在那里自由移动，但它无法逃脱。这可以用势能函数来描述
　　所以薛定谔方程化简成
　　边值条件是
　　否则薛定谔方程就不能在势能无限的区域中得到满足。在这种情况下，薛定谔方程简化为谐振子的形式，满足边界条件的解为
　　其中是一个1的整数，是某个常数。把它插入薛定谔方程中就得到了
　　或者
　　所以粒子有一个离散的，尽管有无限个允许的能级。越高，能量越高。没什么特别的。
　　额外的卷曲维度
　　额外的卷曲维度？如果你用实数线表示一个标准维度，那么这个维度在两个方向上都无限延伸。卷曲，或者用技术术语来说：紧化，意味着我们将那些相距距离的点定义为相同的点。所以当你沿着这条轴移动一段距离，你会在你开始的地方结束。我们所做的就是把这个维度变成一个圆圈，这就是为什么人们叫它卷曲的维度。
　　假设在玩具世界中，除了正常的维度外，还有一个额外的卷曲维度我们称这个方向的坐标为。假设我们捕获了一个粒子在space的同一个区域。那么
　　我们可以很容易地用分离方法将这个偏微分方程转化为常微分方程
　　代入薛定谔方程得到
　　其中，上标符号分别表示对单个变量或的导数。除以：
　　也可以写成
　　注意，这里的左边是的函数，而右边不是。右边是关于的常数。我们称这个常数为2。然后，乘以，我们可以将方程写成
　　这就是谐振子的方程，它的通解是
　　同样的论证也适用于，但这次是针对，而不是。在这个例子中表示常数，我们有
　　让我们在边界条件下固定一些常数，得到
　　此外，我们有
　　因为1不可能是零（这意味着0，这意味着根本没有粒子），我们必须有
　　对于（），唯一的边界条件是维度是卷曲的，所以
　　这意味着常数必须具有正确的大小，使周期等于：
　　其中0为整数。
　　总之，我们有了波函数的解
　　将解代入薛定谔方程，就可以得到允许的能量
　　这取决于和。0是允许的，所以在这种情况下，变化的能量是相同的，没有额外的维度。但是通过0，我们可以获得额外的能量级别！为什么我们还没有观察到呢？
　　因为，如果非常小，那么来自额外维度的能量项是巨大的。所以，在这种情况下，任何来自额外维度的能级，只有在非常高的能量时才会可见。如果真的很小，那么所需的能量是如此之高，以至于我们目前的技术无法观察到。但也许，在未来的某一天，我们可以做到。