【专题精讲】最短路径问题汇总，经典例题解析，期中必考内容热文

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　　一、学习目标1、熟练应用最短路径的基本模型；2、掌握计算最短路径的长度的一般思想和方法；3、理解最短路径问题的数学本质：转化思想、数形结合思想和函数思想。二、知识重点1、最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：（1）确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题；（2）确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题；（3）确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；（4）全局最短路径问题求图中所有的最短路径。2、基本依据两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质、平移的性质等。3、常见的类型两点一线，两线一点，两点两线等。三、12个基本问题1、问题原型：将军饮马、造桥选址、费马点2、涉及知识：两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、轴对称、平移3、出题背景：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等4、解题思路：找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。5、12个基本问题经典例子解析例一、在解决最短路径问题时，我们通常利用、等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。例二、已知，如图，在直线l的同侧有两点A、B（1）在图1的直线上找一点P使PAPB最短；（2）在图2的直线上找一点P，使PAPB最长例三、如图所示，P为AOB内一点，P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P28cm，则PMN的周长是（）A。7cmB。5cmC。8cmD。10cm例四、如图，在等腰RtABC中，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，要使ECED最小，请找点E的位置例五、如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？参考答案例一：轴对称平移例二：（1）作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP；点P即为所求（2）连接AB并延长，交直线l于点P例三：C例四：作点C关于AB的对称点C，连接CD与AB的交点为E点例五：过点A作APa，并在AP上向下截取AA，使AA河的宽度；连接AB交b于点D；过点D作DEAA交a于点C；连接AC。则CD即为桥的位置
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