【中考数学】一元二次方程的实际应用”经典题型剖析！热文聚热点

　　“一元二次方程”作为初中数学的重、难点，也是考试考查的重点对象。很多同学会发现，“一元二次方程”的计算并不难，然而一旦它与实际问题结合起来，就无处下手，找不到等量关系，列不出方程式。今天林老师就来和同学们一起探讨一下“一元二次方程的实际应用”问题。
　　解题思路
　　对于实际应用题，最关键的一点在于认真阅读题目，分析题意，并能分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答。
　　经典题型
　　题型一：利润问题
　　【常用公式】
　　【例题】某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【解析】假设每件衬衫应降价x元，现每件盈利为（40x）元，现每天销售衬衫为（202x）件，根据等量关系：每件衬衫的利润销售衬衫数量销售利润，可列出方程。解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得（40x）（202x）1200解得X110，X220。因尽快减少库存，故取x20答：每件应降价20元。
　　题型二：利息问题
　　【常用公式】
　　【例题】某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元。求这种存款方式的年利率（本题不计利息税）？【解析】假设这种存款方式的年利率为x，2000元存一年后本息和为2000（1x）元，支取1000元后，还剩〔2000（1x）1000〕元。将所剩〔2000（1x）1000〕元再存入银行一年，到期后本息共1320元。根据本息和本金（1利率）等量关系可列出方程。解：设这种存款方式的年利率为x。根据题意得，〔2000（1x）1000〕（1x）1320整理可得：2000x23000x3200解得：x11。6（舍去），x20。110答：这种存款方式的年利率为10。
　　题型三：与几何图形的面积问题
　　几何图形的面积问题【等量关系】面积公式是此类问题的等量关系。
　　【例题】如图11所示，某小区规划在一个“长为40m，宽为26m”的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。若使每一块草坪的面积都是144m2，则道路的宽是多少米？【解析】（1）设路的宽为xm，那么道路所在的面积（40x26x22x2）m2。那么六块草坪的面积为〔4026（40x26x22x2）〕m2，根据题意，得4026（40x26x22x2）1446（2）将图11所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移到图12的位置，若设宽为xm，则草坪的总面积为（402x）（26x）m2。所列方程为（402x）（26x）1446解法1：设道路的宽为xm，则根据题意，得4026（40x26x22x2）1446整理，得x246x880解得x144（舍去），x22解法2：设道路的宽为xm，则根据题意，得（402x）（26x）1446解得x144（舍去），x22答：道路的宽是2米。
　　勾股定理问题【解题思路】勾股定理
　　【例题】如图21，两只蚂蚁从A点出发，分别沿正北、正东方向爬，甲的速度为每分钟6cm，乙的速度为每分钟8cm。几分钟后，两只蚂蚁相距20cm？【解析】假设t分钟后相距20cm，那么甲所爬的距离为6tcm，乙所爬的距离为8tcm，甲乙所爬的距离正好是两个直角边，相距20cm正好是两直角边所对的斜边。此题可用勾股定理作等量关系列方程。解：设t分钟后，相距20cm。由题意得：（6t）2（8t）2202整理，得100t2400解得t12，t22（不合题意，舍去）答：2分钟后，两只蚂蚁相距20cm。
　　题型四：平均增长（降低）率问题
　　【解题思路】此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到的新的数据。常见的等量关系是：a（1x）2b。其中b为增长（或降低）后的数量，a为增长（或降低）前的基数，x为增长率（降低率）。
　　【例题】某印刷厂元月份印刷课本30万册，第一季度共印了150万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？【解析】本题的关键是应用形如a（1x）2b形式的问题，但要注意不能盲目套公式，此题没有直接给出增长后的数据，而是直接给出了第一季度印刷的总数量，所以使用的等量关系是：元月份印刷数量30万册2月份印刷数量30（1x）3月份印刷数量30（1x）2150万册。解：设2、3月份平均增长率为x，则有：3030（1x）30（1x）2150解得x13。56（舍去），x20。5656答：2、3月份平均每月的增长率是56。
　　题型五：动点问题
　　【解题思路】此类问题是一般几何题的延伸，要学会用运动的观点看问题，根据条件设出未知数，想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题中给出的等量关系（可以是图形的面积、勾股定理等）列出方程。
　　【例题】如图31所示，在ABC中，B90，点P从A点开始沿AB向B点以1cms的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cms的速度移动。如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使PQB的面积等于8cm2？【解析】设经过x秒钟，点P在AB上移动后所剩的距离PB为（6x）cm，点Q在BC上移动的距离BQ为2xcm。因此，可根据三角形面积公式列方程来求解。解：设经过x秒钟，点P在AB上，点Q在BC上，且使PBQ面积为8cm2根据题意，得（6x）2x128整理得：x26x80解得x12，x24经过2秒钟，点P在离A点122（cm）处；点Q在离B点224（cm）处。经过4秒钟，点P在离A点1x44（cm）处，点Q在离B点248（cm）处，所以它们都符合要求。答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2秒钟或4秒钟，PQB的面积等于8cm2。
　　题型六：数字问题
　　【解题思路】根据数字问题列方程，只要根据题目中给出的相等关系列出方程即可，但要注意两位数或三位数的表示方式。两位数（十位数字）10（个位数字）三位数（百位数字）100（十位数字）10（个位数字）
　　【例题】一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数？【解析】题中等量关系比较明显，所以两位数与原来的两位数的乘积是736，正确列出方程的关键是熟练掌握用字母表示两位数的方法。两位数（十位数字）10（个位数字）。解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为（5x）。根据题意，得〔10x（5x）〕〔10（5x）x〕736整理，得x25x60解得x12，x23。当x2时，5x3符合题意，原来的两位数是23；当x3时，5x2符合题意，原来的两位数是32。答：原来的两位数是23或32。注意：用一元二次方程解决实际问题时，一定要检验所得的解是否符合实际意义，不合题意的解一定要舍去。
　　答题技巧
　　列方程解应用题实质是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决。
　　列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型。同学们要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等。
　　此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等。END