半角模型 已知如图：22AOB；OAOB。 连接FB，将FOB绕点O旋转至FOA的位置，连接FE，FE， 可得OEFOEF 模型分析 OBFOAF， 34，OFOF。 2AOB， 132 142 又OE是公共边， OEFOEF。 （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90含45，120含60。 模型实例 例1已知，正方形ABCD中，MAN45，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N （1）求证：BMDNMN （2）作AHMN于点H，求证：AHAB 证明：（1）延长ND到E，使DEBM， 四边形ABCD是正方形，ADAB 在ADE和ABM中， ADEABM AEAM，DAEBAM MAN45，BAMNAD45 MANEAN45 在AMN和AEN中， AMNAEN MNEN BMDNDEDNENMN （2）由（1）知，AMNAEN SAMNSAEN 即 又MNEN， AHAD 即AHAB 例2在等边ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60，BDC120，BDDC探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系 （1）如图，当DMDN时，BM、NC、MN之间的数量关系是； （2）如图，当DMDN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明 图图 解答 （1）BM、NC、MN之间的数量关系是BMNCMN （2）猜想：BMNCMN 证明：如图，延长AC至E，使CEBM，连接DE BDCD，且BDC120， DBCDCB30 又ABC是等边三角形， ABCACB60 MBDNCD90 在MBD与ECD中， DBDC，DBMDCE90，BMCE， MBDECD（SAS） DMDE，BDMCDE EDNBDCMDN60 在MDN和EDN中， MDED，MDNEDN60，DNDN， MDNEDN（SAS） MNNENCCENCBM 图 例3如图，在四边形ABCD中，BADC180，ABAD，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且EAFBAD求证：EFBEFD 证明：在BE上截取BG，使BGDF，连接AG BADC180，ADFADC180， BADF 在ABG和ADF中， ABGADF（SAS） BAGDAF，AGAF GAFBAD EAFBADGAF GAEEAF 在AEG和AEF中， AEGAEF（SAS） EGEF EGBEBG， EFBEFD 跟踪练习： 1已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，MAN45 求证：MNDNBM 【答案】 证明：如图，在DN上截取DEMB，连接AE， 四边形ABCD是正方形， ADAB，DABC90 在ABM和ADE中， ABMADE AMAE，MABEAD MAN45MABBAN， DAEBAN45 EAN904545MAN 在AMN和AEN中， ABMADE MNEN DNDEEN DNBMMN 2已知，如图在RtABC中，BAC90，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动 点，若DAE45，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系 小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连接ED使问题得到解 决请你参考小明的思路探究并解决以下问题： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 【答案】 解答：（1）猜想：DE2BD2EC2 证明：将AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，如图 ACEABE BEEC，AEAE，CABE，EACEAB 在RtABC中， ABAC， ABCACB45 ABCABE90，即EBD90 EB2BD2ED2 又DAE45， BADEAC45 EABBAD45，即EAD45 AEDAED DEDE DE2BD2EC2 （2）结论：关系式DE2BD2EC2仍然成立 证明：作FADBAD，且截取AFAB，连接DF，连接FE，如图 AFDABD FDDB，AFDABD 又ABAC， AFAC FAEFADDAEFAD45， EACBACBAE90（DAEDAB）90（45DAB）45DAB， FAECAE 又AEAE， AFEACE FEEC，AFEACE45 AFDABD180ABC135 DFEAFDAFE1354590 在RtDFE中，DF2FE2DE2 即DE2BD2EC2 3已知，在等边ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线 AC、BC上，且MON60 （1）如图，当CMCN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三 者之间的数量关系； （2）如图，当CMCN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然 成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、 MN三者之间的数量关系 【答案】 结论：（1）AMCNMN；如图 图 （2）成立； 证明：如图，在AC上截取AECN，连接OE、OA、OC O是边AC、BC垂直平分线的交点，且ABC为等边三角形， OAOC，OAEOCN30，AOC120 又AECN， OAEOCN OEON，AOECON EONAOC120 MON60， MOEMON60 MOEMON MEMN AMAEMECNMN 图 （3）如图，AMMNCN 图 4如图，在四边形ABCD中，BD180，ABAD，E、F分别是线段BC、CD上的 点，且BEFDEF求证：EAFBAD 【答案】 证明：如图，把ADF绕点A顺时针旋转DAB的度数得到ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG， AGAF，BGDF，ABGD，BAGDAF ABCD180， ABCABG180 点G、B、C共线 BEFDEF， BEBGGEEF 在AEG和AEF中， AEGAEF EAGEAF EABBAGEAF 又BAGDAF， EABDAFEAF EAFBAD 5如图，已知四边形ABCD，EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E，连接EF （1）若四边形ABCD为正方形，当EAF45时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论） （2）如图，如果四边形ABCD中，ABAD，ABC与ADC互补，当EAFBAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明 （3）在（2）中，若BC4，DC7，CF2，求CEF的周长（直接写出结论） 解答： （1）EFDFBE （2）EFDFBE 证明：如图，在DF上截取DMBE，连接AM， DABCABEABC180 DABE ADAB 在ADM和ABE中， ADMABE AMAE，DAMBAE EAFBAEBAFBAD， DAMBAFBAD MAFBAD EAFMAF 在EAF和MAF中 EAFMAF EFMF MFDFDMDFBE， EFDFBE （3）EFDFBE CEF的周长CEEFFCBCBEDCCFBECF BCCD2CF15
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